← Bibliothèque · Master · Master 4e · Raisonner comme un mathématicien
0/0 ⬇
Collection « Challenges » · La rigueur et la méthode mathématique · Quatrième · Master

Raisonner comme un mathématicien

Tu sais lire, chercher, rédiger et vérifier, et tu as une routine pour chaque chapitre. Il te reste le cœur des mathématiques : raisonner. De février à juin, tu apprends à démontrer, à utiliser la réciproque et la contraposée, à prouver avec des lettres, à chercher des problèmes ouverts, à t'entraîner aux automatismes et à préparer tes contrôles ; à la fin, tu as ton dossier de problèmes résolus et expliqués.

ARC 1Raisonner ARC 2Démontrer ARC 3Chercher et prouver ARC 4Préparer, réussir, transmettre
32 épisodes · 16 semaines Mardi comprendre · jeudi pratiquer Papier, crayon, calculatrice ≈ 20 à 30 min / épisode
BOOST · 5 JOURSLa méthode en 4 temps : lire, chercher, rédiger, vérifier.
PRO · 20 JOURSUne routine pour chaque grand chapitre de 4e et un carnet d'erreurs.
MASTER · 4 MOISRaisonner comme un mathématicien : démontrer, chercher, préparer le brevet.
Le fil rouge. Noé, 13 ans, élève de 4e qui a terminé le Boost et le Pro (personnage fictif), progresse avec toi de février à juin.
Chaque épisode = une situation, une notion ou une méthode, des sources, un quiz, ton kit à faire sur papier et ton journal. Fin de chaque arc : un bilan, un arbre de décision et un badge.
Tes données restent chez toi. Progression et journal sont enregistrés uniquement dans ton navigateur. Rien n'est envoyé.
Règle d'or. Pas de résultat sans vérification, pas d'affirmation sans justification.
Ce que tu sais déjàLa méthode en 4 temps (Boost, épisodes 1 à 4) ; apprendre son cours et tenir un carnet d'erreurs (Pro, épisodes 1 à 4) ; 4 stratégies de recherche (Pro, épisode 6) ; mettre en équation (Pro, épisode 8) ; définition, propriété, théorème (Pro, épisode 11) ; conjecturer avec un logiciel (Pro, épisode 13) ; graphiques et algorithmes (Pro, épisodes 16 et 18). Tu démarres ici directement ? Le kit de rattrapage est en fin de livre.
Ce que tu as vu les années précédentesPour te situer, rien à réviser : additionner et soustraire des nombres relatifs ; calculer avec des fractions simples ; reconnaître une situation de proportionnalité ; utiliser la somme des angles d'un triangle ; calculer des aires et des volumes simples.

Ce livre suit le programme de mathématiques de 4e en vigueur en 2026-2027. Si ton professeur te demande de rédiger autrement, c'est sa consigne qui compte. Les assistants d'IA ne sont jamais nécessaires pour ce livre.

ARC 1 · FÉVRIER · SEMAINES 1 À 4

Raisonner

En février, quatre outils du raisonnement : les petits mots « et », « ou », « non » ; le « si… alors » de chaque propriété ; le contre-exemple qui suffit à tout faire tomber ; et le premier pas de démonstration.

Semaine 1
01
S1 · Mardi · Comprendre

Et, ou, non : les petits mots qui changent tout

Notion : le vocabulaire logique « et », « ou », « non »

⏱ 22 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 14 h Défi de début de cours : « Choisis un nombre entre 1 et 12 qui est pair ou multiple de 3. » Noé choisit 6. Sa voisine proteste : « Ça ne marche pas, 6 est les deux ! Le « ou » veut dire l'un ou l'autre. » La professeure sourit : « En mathématiques, Noé a raison. »
[2]Concept

En mathématiques, une affirmation est soit vraie, soit fausse. « 7 est un nombre premier » est vraie ; « −3 > 2 » est fausse. Il n'y a pas d'affirmation « un peu vraie ».

Trois petits mots servent à fabriquer de nouvelles affirmations :

MotQuand l'affirmation est-elle vraie ?Exemple
etQuand les deux parties sont vraies« 6 est pair et multiple de 3 » : vraie
ouQuand au moins une des deux parties est vraie (y compris les deux)« 6 est pair ou multiple de 3 » : vraie ; « 5 est pair ou multiple de 3 » : fausse
nonQuand l'affirmation de départ est fausse« non (−3 > 2) », c'est « −3 ≤ 2 » : vraie

Le « ou » des maths est inclusif. Dans la vie courante, « fromage ou dessert » veut souvent dire l'un des deux seulement. En mathématiques, « ou » accepte les deux à la fois.

Écrire le contraire (la négation) :

  • « x = 3 » a pour contraire « x ≠ 3 ».
  • « x > 2 » a pour contraire « x ≤ 2 » (et non « x < 2 » : 2 lui-même n'est pas plus grand que 2).
  • « ABC est rectangle » a pour contraire « ABC n'est pas rectangle ».
Le programme du cycle 4 demande de raisonner avec un langage précis : ces trois mots en sont la base. Ils te serviront à chaque démonstration de ce livre.
[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Programme du cycle 4 — La compétence « Raisonner » demande de démontrer en utilisant un raisonnement logique et des règles établies, et de fonder ses jugements sur des résultats établis [1].
  • Programme du cycle 4 — La compétence « Communiquer » demande d'utiliser un vocabulaire adéquat et des notations adaptées pour décrire une situation, exposer une argumentation [1].
[4]Mythes
« Le « ou » veut dire l'un ou l'autre, mais pas les deux. »
en mathématiques, « ou » est inclusif : les deux à la fois, c'est permis.
« Le contraire de « grand », c'est « petit ». »
le contraire de « x > 2 » est « x ≤ 2 » : on n'oublie pas l'égalité.
« Une affirmation peut être un peu vraie. »
en mathématiques, elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse dans un seul cas, elle est fausse.
[5]Quiz

1. « 9 est pair ou multiple de 3. » Cette affirmation est…

9 n'est pas pair, mais il est multiple de 3. Une partie vraie suffit pour « ou ».

2. « 9 est pair et multiple de 3. » Cette affirmation est…

pour « et », il faut que les deux parties soient vraies ; 9 n'est pas pair.

3. Quel est le contraire de « x > 5 » ?

si x n'est pas plus grand que 5, il est plus petit ou égal à 5.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 1

≈ 14 min

Exercice — Et, ou, non sur les entiers de 1 à 12

  1. Écris les entiers de 1 à 12 qui sont pairs et multiples de 3.
  2. Écris ceux qui sont pairs ou multiples de 3. Combien y en a-t-il ?
  3. Écris le contraire de : « ABC est rectangle » ; « x = 3 » ; « x > 2 ».
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. Pairs : 2, 4, 6, 8, 10, 12 ; multiples de 3 : 3, 6, 9, 12. Les deux à la fois : 6 et 12.
  2. Au moins une des deux : 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, soit 8 nombres (6 et 12 ne sont comptés qu'une fois).
  3. « ABC n'est pas rectangle » ; « x ≠ 3 » ; « x ≤ 2 ».

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
ET : les deux parties vraies.
OU : au moins une vraie (les deux, c'est permis).
NON : le contraire. Contraire de x > 2 : x ≤ 2.

Checklist

  • Je sais quand une affirmation avec « et » ou avec « ou » est vraie.
  • J'ai trouvé les 8 nombres « pairs ou multiples de 3 ».
  • Je sais écrire le contraire d'une inégalité sans oublier l'égalité.
VigilanceDans une consigne, « ou » peut accepter les deux à la fois. Relis les consignes de contrôle avec ce réflexe.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Trouve dans ta vie quotidienne un « ou » qui veut dire « l'un des deux seulement », et un « ou » qui accepte les deux.

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétences « Raisonner » et « Communiquer » (consulté le 25 octobre 2026).
02
S1 · Jeudi · Pratiquer

Vrai ou faux ? Les mots logiques en calcul et en géométrie

Méthode : vérifier une affirmation qui contient « et », « ou », « non »

⏱ 22 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 16 h Questions « vrai ou faux » en interrogation flash. « −3 < 2 et (−3)² < 2² » : Noé répond « vrai », puisque −3 est bien plus petit que 2. Raté : il n'a regardé que la première partie.
[2]Méthode

Tu connais le sens de « et », « ou », « non » (voir épisode 1). Pour décider si une affirmation est vraie, applique la routine en 3 étapes :

  1. Découpe l'affirmation en parties, séparées par « et » ou « ou ».
  2. Décide si chaque partie est vraie ou fausse, en calculant si besoin.
  3. Conclus : « et » → vraie seulement si toutes les parties sont vraies ; « ou » → vraie dès qu'une partie est vraie.
Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Découper force à regarder chaque partie, alors que l'œil s'arrête souvent à la première. C'est l'erreur de Noé : la première partie était vraie, la seconde fausse ((−3)² = 9 et 2² = 4).

À retenirJe découpe, je décide pour chaque partie, je conclus avec le mot logique.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« Je regarde seulement la première partie d'un « et ». »
une seule partie fausse rend tout le « et » faux.
« Pour un « ou », je cherche une partie vraie. »
une seule suffit.
« Je calcule (−3)² avant de comparer. »
on décide avec des calculs, pas à l'œil.
« Le contraire de « x ≥ 4 », c'est « x ≤ 4 ». »
c'est « x < 4 » ; 4 vérifie « x ≥ 4 ».
[5]Quiz

1. « −3 < 2 ou (−3)² < 2² » est…

la première partie est vraie ; pour « ou », cela suffit.

2. « Un carré est un rectangle et un losange. » Cette affirmation est…

un carré a 4 angles droits (rectangle) et 4 côtés égaux (losange) : les deux parties sont vraies.

3. Pour quels entiers x a-t-on « x > 2 et x < 5 » ?

il faut les deux conditions à la fois ; 2 et 5 ne vérifient pas les inégalités strictes.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 2

≈ 14 min

Exercice — Six affirmations à trancher. Pour chacune : découpe, décide, conclus.

  1. « −3 < 2 et (−3)² < 2² »
  2. « −3 < 2 ou (−3)² < 2² »
  3. « 15 est un multiple de 3 et de 5 »
  4. « 14 est un multiple de 4 ou de 7 »
  5. « 10⁻² = 0,01 et 10⁻² < 0 »
  6. Écris le contraire de « x ≥ 4 » et de « EFG est isocèle ».
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. Vraie et fausse (9 > 4) → fausse.
  2. Vraie ou fausse → vraie.
  3. 15 = 3 × 5 : vraie et vraie → vraie.
  4. 14 n'est pas multiple de 4 ; 14 = 2 × 7 est multiple de 7 → vraie.
  5. 10⁻² = 0,01 vraie ; 0,01 < 0 fausse → fausse.
  6. « x < 4 » ; « EFG n'est pas isocèle ».

Checklist

  • J'ai découpé chaque affirmation avant de décider.
  • J'ai calculé au lieu de deviner.
  • J'ai écrit les contraires sans me tromper sur l'égalité.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Sur quelle affirmation t'es-tu laissé prendre ? Qu'est-ce qui t'a trompé ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétence « Raisonner » (consulté le 25 octobre 2026).
Semaine 2
03
S2 · Mardi · Comprendre

Si… alors : hypothèse et conclusion

Notion : l'implication « si… alors », hypothèse et conclusion

⏱ 24 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 15 h Exercice : « Le triangle KLM a des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm. Calcule… » Noé écrit : « D'après le théorème de Pythagore… » Sa professeure entoure : « Où est-il dit que le triangle est rectangle ? » Noé n'avait pas vérifié la condition du théorème.
[2]Concept

Au Pro, tu as vu que chaque propriété a ses conditions d'utilisation (Pro, épisode 11). On peut maintenant le dire avec précision : toute propriété s'écrit sous la forme « Si…, alors… ».

Si [hypothèse], alors [conclusion].

  • L'hypothèse, c'est ce qu'il faut avoir (dans l'énoncé ou déjà démontré) pour utiliser la propriété.
  • La conclusion, c'est ce qu'on obtient quand l'hypothèse est vraie.
PropriétéHypothèseConclusion
Théorème de PythagoreABC est rectangle en ABC² = AB² + AC²
Somme des anglesABC est un triangle + B̂ + Ĉ = 180°
Définition du parallélogramme (dans un sens)ABCD a ses côtés opposés parallèlesABCD est un parallélogramme

La règle d'or du « si… alors » : on n'a le droit d'écrire la conclusion que si l'on a vérifié l'hypothèse. Dans l'erreur de Noé, l'hypothèse « triangle rectangle » manquait : il ne pouvait pas utiliser le théorème.

Attention : « si… alors » ne marche pas forcément dans l'autre sens. Échanger hypothèse et conclusion donne la réciproque, qui peut être fausse : ce sera l'épisode 11.
[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Programme du cycle 4 — La compétence « Raisonner » demande de démontrer en utilisant un raisonnement logique et des règles établies : propriétés, théorèmes, formules [1].
  • Programme du cycle 4 — Une propriété non démontrée en classe est présentée comme « admise » : on peut l'utiliser, mais seulement quand son hypothèse est vérifiée [1].
[4]Mythes
« Le « si… alors » marche dans les deux sens. »
pas toujours. « Si un nombre est multiple de 4, alors il est pair » est vraie ; mais 6 est pair sans être multiple de 4.
« L'hypothèse, c'est un détail. »
sans hypothèse vérifiée, la propriété ne s'applique pas, même si la conclusion semble juste.
« On peut utiliser la conclusion pour démontrer l'hypothèse. »
c'est tourner en rond. On part de l'hypothèse pour arriver à la conclusion.
[5]Quiz

1. Dans « Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC² », l'hypothèse est…

l'hypothèse est la partie après « si ».

2. Tu veux utiliser la propriété « Si un triangle a deux côtés égaux, alors il a deux angles égaux ». Que dois-tu vérifier d'abord ?

on vérifie l'hypothèse avant d'écrire la conclusion.

3. Le triangle KLM a des côtés 3, 4 et 5, sans autre information. Peut-on utiliser le théorème de Pythagore ?

on ne sait pas qu'il est rectangle. (Avec la réciproque, épisode 11, on pourra le démontrer.)
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 3

≈ 16 min

Exercice — Cinq propriétés en « si… alors »

Réécris chaque propriété sous la forme « Si…, alors… », puis souligne l'hypothèse et entoure la conclusion.

  1. Théorème de Pythagore.
  2. Somme des angles d'un triangle.
  3. Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles est un parallélogramme.
  4. Théorème de Thalès (triangles emboîtés).
  5. Produit de puissances de 10.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
  2. Si ABC est un triangle, alors  + B̂ + Ĉ = 180°.
  3. Si ABCD est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles, alors ABCD est un parallélogramme.
  4. Si M est sur [AB], N est sur [AC] et (MN) // (BC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.
  5. Si m et n sont des entiers relatifs, alors 10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ.

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
SI [hypothèse], ALORS [conclusion].
Je vérifie l'hypothèse AVANT d'écrire la conclusion.
« Si… alors » ne marche pas forcément dans l'autre sens.

Checklist

  • Je sais repérer l'hypothèse et la conclusion d'une propriété.
  • J'ai réécrit les 5 propriétés en « si… alors ».
  • Je vérifie l'hypothèse avant d'utiliser une propriété.
VigilanceDans le théorème de Thalès, l'hypothèse a trois morceaux (M sur [AB], N sur [AC], droites parallèles). Il faut les trois.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quelle propriété as-tu déjà utilisée sans que son hypothèse soit vérifiée ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétence « Raisonner » et thème « Espace et géométrie » (consulté le 25 octobre 2026).
04
S2 · Jeudi · Pratiquer

Trouver l'hypothèse dans l'énoncé

Méthode : associer une propriété à une donnée de l'énoncé

⏱ 22 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 17 h Noé connaît ses propriétés en « si… alors ». Mais devant un énoncé, il ne sait pas laquelle choisir. Il décide de procéder à l'envers : partir des données de l'énoncé et chercher quelle propriété les a comme hypothèse.
[2]Méthode

Une propriété s'utilise quand son hypothèse est dans l'énoncé (voir épisode 3). D'où la routine « hypothèse » :

  1. Liste les données de l'énoncé (avec les 4 questions du détective, Boost, épisode 1).
  2. Cherche dans ton cours une propriété dont l'hypothèse correspond à ces données.
  3. Vérifie que tous les morceaux de l'hypothèse sont présents.
  4. Si l'hypothèse est complète, écris la conclusion ; sinon, cherche une autre propriété ou démontre d'abord le morceau qui manque.
Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Partir des données plutôt que du résultat évite de choisir une propriété « au hasard » parce qu'elle donne la réponse attendue. Et vérifier chaque morceau de l'hypothèse évite l'erreur la plus coûteuse : utiliser une propriété qui ne s'applique pas.

À retenirDonnées → propriété dont c'est l'hypothèse → hypothèse complète ? → conclusion.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« Je choisis Pythagore parce que je veux une longueur. »
on choisit d'après l'hypothèse (triangle rectangle), pas d'après ce qu'on veut obtenir.
« Je vérifie les trois morceaux de l'hypothèse de Thalès. »
il les faut tous.
« Il manque un morceau : je le démontre d'abord. »
c'est le début d'une démonstration en plusieurs pas (épisode 9).
« Le triangle a l'air rectangle, j'utilise Pythagore. »
l'apparence n'est pas une donnée.
[5]Quiz

1. « EFG est rectangle en E. » Quelle propriété cette donnée permet-elle d'utiliser ?

« triangle rectangle » est l'hypothèse du théorème de Pythagore.

2. Pour utiliser Thalès, l'énoncé donne M sur [AB] et N sur [AC]. Que manque-t-il ?

l'hypothèse de Thalès a trois morceaux ; le parallélisme manque.

3. Il manque un morceau de l'hypothèse. Que fais-tu ?

on ne saute jamais un morceau d'hypothèse.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 4

≈ 14 min

Exercice — Quatre énoncés, quatre décisions. Pour chacun : quelle propriété ? quelle donnée en est l'hypothèse ? hypothèse complète ? Si oui, conclus.

  1. EFG est un triangle rectangle en E, EF = 5 cm, EG = 12 cm. Calcule FG.
  2. Dans le triangle RST, R̂ = 70° et Ŝ = 45°. Calcule T̂.
  3. M est sur [AB], N est sur [AC], (MN) // (BC), AM = 2 cm, AB = 6 cm, BC = 9 cm. Calcule MN.
  4. Dans le triangle IJK, IJ = 6 cm et JK = 8 cm. Calcule IK.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. Pythagore ; hypothèse « rectangle en E » complète ; FG² = 25 + 144 = 169 ; FG = 13 cm.
  2. Somme des angles ; hypothèse « RST est un triangle » ; T̂ = 180 − 70 − 45 = 65°.
  3. Thalès ; hypothèse complète (M ∈ [AB], N ∈ [AC], parallèles) ; AM/AB = 2/6 = 1/3 ; MN = 9 ÷ 3 = 3 cm.
  4. Piège : aucune propriété ne s'applique, car on ne sait pas que IJK est rectangle. Impossible de calculer IK avec ces seules données.

Checklist

  • J'ai trouvé la propriété à partir des données, pas du résultat.
  • J'ai vérifié chaque morceau de l'hypothèse.
  • J'ai repéré l'énoncé où aucune propriété ne s'applique.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Dans ton dernier contrôle, une question était-elle impossible à résoudre parce qu'il te manquait une donnée ? Ou l'avais-tu juste mal repérée ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, attendus de fin d'année de 4e en mathématiques, Eduscol (BO n° 22 du 29 mai 2019) (consulté le 25 octobre 2026).
Semaine 3
05
S3 · Mardi · Comprendre

Le contre-exemple : un seul suffit

Notion : exemple et contre-exemple ; vérifier n'est pas démontrer

⏱ 24 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 14 h Noé affirme : « Le carré d'un nombre est toujours plus grand que ce nombre. » Il le prouve : 2² = 4, 3² = 9, 5² = 25, 10² = 100, 7² = 49. « Cinq exemples, c'est sûr ! » Sa professeure écrit au tableau : 0,5² = ?
[2]Concept

Des exemples ne prouvent pas une affirmation générale. Même mille exemples ne garantissent pas qu'il n'y ait pas d'exception.

Un seul contre-exemple suffit à la rendre fausse. Un contre-exemple est un cas qui respecte les conditions de l'affirmation mais pas sa conclusion. Ici : 0,5² = 0,25, et 0,25 < 0,5. L'affirmation de Noé est fausse.

Pour montrer qu'une affirmation générale est…Il faut…Il suffit de…
Fausse—Un seul contre-exemple
VraieUne démonstration valable dans tous les cas (épisode 7)— (des exemples ne suffisent jamais)

Le piège le plus célèbre. Au XVIIIe siècle, Euler a étudié l'expression n² + n + 41. Pour n = 0, 1, 2, … jusqu'à 39, elle donne à chaque fois un nombre premier : 41, 43, 47, 53… Quarante exemples ! Et pourtant, pour n = 40 : 40² + 40 + 41 = 1 681 = 41 × 41, qui n'est pas premier.

Où chercher un contre-exemple ? Dans les cas « dangereux » : 0, 1, les nombres négatifs, les décimaux entre 0 et 1, les figures particulières (carré, losange, triangle aplati).

[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Programme du cycle 4 — La compétence « Chercher » demande de chercher des exemples ou des contre-exemples, et d'émettre une conjecture [1].
  • 1772 — Euler a remarqué que n² + n + 41 (sous une forme équivalente) donne des nombres premiers pour les quarante premières valeurs ; un texte du mathématicien Daniel Perrin rappelle que pour n = 40 on obtient 41², et souligne qu'une vérification au cas par cas n'explique rien [2].
[4]Mythes
« Cinq exemples, c'est une preuve. »
même quarante exemples ne prouvent rien, comme le montre n² + n + 41.
« Un contre-exemple, c'est une exception qui ne compte pas. »
en mathématiques, une seule exception rend l'affirmation générale fausse.
« Si je ne trouve pas de contre-exemple, l'affirmation est vraie. »
ne pas trouver ne prouve rien ; il faut une démonstration.
[5]Quiz

1. Quel nombre est un contre-exemple à « le carré d'un nombre est plus grand que ce nombre » ?

0,5² = 0,25 < 0,5. (Pour 3 et 10, le carré est bien plus grand.)

2. Pour montrer qu'une affirmation générale est fausse, il faut…

une seule exception suffit.

3. Tu as vérifié une affirmation sur 50 nombres sans trouver d'exception. Tu peux dire…

l'exemple d'Euler montre qu'une exception peut arriver tard.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 5

≈ 16 min

Exercice — Trois affirmations à faire tomber

  1. « Le carré d'un nombre est toujours plus grand que ce nombre. »
  2. « La somme de deux nombres premiers est toujours paire. »
  3. « Tout nombre impair est premier. »
  4. Vérifie à la calculatrice que 40² + 40 + 41 = 41².
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. 0,5 : 0,5² = 0,25 < 0,5. (Autre contre-exemple : 1, car 1² = 1, qui n'est pas plus grand que 1.)
  2. 2 + 3 = 5, qui est impair.
  3. 9 est impair mais 9 = 3 × 3 n'est pas premier.
  4. 1 600 + 40 + 41 = 1 681 et 41 × 41 = 1 681 ✓.

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
FAUX → un seul contre-exemple suffit.
VRAI → il faut une démonstration (les exemples ne suffisent jamais).
Cas dangereux : 0, 1, négatifs, décimaux entre 0 et 1, figures particulières.

Checklist

  • Je sais pourquoi des exemples ne prouvent pas une affirmation générale.
  • J'ai trouvé un contre-exemple pour les 3 affirmations.
  • Je connais les « cas dangereux » où chercher.
VigilanceUn contre-exemple doit respecter les conditions de l'affirmation. Pour « tout nombre impair est premier », 8 n'est pas un contre-exemple : il n'est pas impair.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

As-tu déjà été sûr d'une règle parce qu'elle « marchait toujours » sur tes exemples ? Laquelle ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétence « Chercher » (consulté le 25 octobre 2026).
  2. D. Perrin, « Pourquoi y a-t-il beaucoup de nombres premiers de la forme n² + n + 41 ? », texte de l'Institut de mathématiques d'Orsay, université Paris-Saclay (consulté le 25 octobre 2026).
06
S3 · Jeudi · Pratiquer

La chasse aux affirmations fausses

Méthode : tester les cas dangereux

⏱ 22 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 16 h 30 Pour réviser, Noé et son ami Yanis inventent des « règles » de calcul. Yanis propose : « (a + b)², c'est a² + b². » Ça a l'air logique. Noé sort sa liste de cas dangereux.
[2]Méthode

Un seul contre-exemple suffit (voir épisode 5). Voici la routine du chasseur :

  1. Lis l'affirmation : à quels nombres ou figures s'applique-t-elle ?
  2. Teste les cas dangereux : 0 ; 1 ; un nombre négatif ; un décimal entre 0 et 1 ; des nombres simples (1 et 1, 1 et 2) ; une figure particulière.
  3. Dès qu'un cas ne marche pas, écris-le proprement : « Pour a = …, on obtient … ≠ …, donc l'affirmation est fausse. »
  4. Si tous les cas marchent, n'écris pas « vrai » : écris « je n'ai pas trouvé de contre-exemple ; c'est peut-être vrai, il faudrait le démontrer ».
Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Les « cas dangereux » sont ceux où les nombres se comportent autrement que d'habitude : multiplier par un nombre entre 0 et 1 fait diminuer, un nombre négatif change le sens des comparaisons, 0 et 1 sont des cas limites. C'est là que les fausses règles tombent.

À retenir0, 1, un négatif, un décimal entre 0 et 1, une figure particulière. Un seul échec suffit.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« Je teste avec 2, 3 et 4 seulement. »
des nombres trop « sages » laissent passer les fausses règles.
« Je teste avec un nombre négatif. »
beaucoup de règles fausses tombent ici.
« Je n'ai pas trouvé de contre-exemple, donc c'est vrai. »
il faut une démonstration.
« J'écris le contre-exemple avec le calcul complet. »
le correcteur peut le vérifier.
[5]Quiz

1. Quel couple réfute « (a + b)² = a² + b² » ?

(1 + 1)² = 4 mais 1² + 1² = 2. Avec a = 0, l'égalité est vraie : ce ne sont pas des contre-exemples.

2. « Le double d'un nombre est plus grand que ce nombre. » Contre-exemple ?

2 × (−1) = −2, et −2 < −1. (Pour 0,5 : 1 > 0,5, la règle marche.)

3. « Un quadrilatère qui a 4 côtés égaux est un carré. » Contre-exemple ?

un tel losange a 4 côtés égaux sans être un carré.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 6

≈ 14 min

Exercice — Quatre « règles » de Yanis. Pour chacune, cherche un contre-exemple ; si tu n'en trouves pas, dis-le honnêtement.

  1. (a + b)² = a² + b²
  2. Le double d'un nombre est plus grand que ce nombre.
  3. Un quadrilatère qui a 4 côtés égaux est un carré.
  4. La somme de deux nombres pairs est paire.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. Fausse : a = 1, b = 1 : (1 + 1)² = 4 et 1² + 1² = 2 ; 4 ≠ 2.
  2. Fausse : −1 : 2 × (−1) = −2 < −1. (0 aussi : 2 × 0 = 0 n'est pas plus grand que 0.)
  3. Fausse : un losange sans angle droit.
  4. Pas de contre-exemple : 2 + 4 = 6, 10 + 8 = 18, 0 + 2 = 2, −4 + 6 = 2… C'est sans doute vrai, mais les exemples ne suffisent pas : tu la démontreras avec une lettre dans l'arc 3.

Checklist

  • J'ai testé les cas dangereux pour chaque règle.
  • J'ai rédigé mes contre-exemples avec le calcul complet.
  • Pour la règle 4, j'ai écrit « pas de contre-exemple trouvé » et non « vrai ».
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quelle fausse règle de calcul as-tu déjà utilisée en contrôle ? Écris son contre-exemple dans ton carnet d'erreurs (Pro, épisode 4).

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétence « Chercher » (consulté le 25 octobre 2026).
Semaine 4
07
S4 · Mardi · Comprendre

Démontrer : on sait que, or, donc

Notion : la démonstration déductive (un pas)

⏱ 26 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 15 h « Dans le triangle ABC, Â = 35° et B̂ = 55°. Démontre que ABC est rectangle. » Noé écrit : « Il a l'air rectangle. » Puis il se reprend : il sait maintenant que l'apparence ne compte pas, qu'il faut une propriété, et que les exemples ne prouvent rien. Mais comment rédiger une vraie démonstration ?
[2]Concept

Démontrer, c'est prouver qu'une affirmation est vraie dans tous les cas, en s'appuyant uniquement sur les données et le cours. Une démonstration se construit par pas, et chaque pas a trois temps :

TempsCe qu'on écritRôle
On sait queLes données de l'énoncé (ou un résultat déjà démontré)C'est l'hypothèse de la propriété
OrLa propriété du cours, sous la forme « si…, alors… » (épisode 3)C'est la règle qui permet d'avancer
DoncCe qu'on obtientC'est la conclusion de la propriété

Exemple rédigé :

  • On sait que ABC est un triangle avec  = 35° et B̂ = 55°.
  • Or dans un triangle, la somme des angles vaut 180°.
  • Donc Ĉ = 180° − 35° − 55° = 90°.
  • On sait que Ĉ = 90°. Or un triangle qui a un angle droit est un triangle rectangle. Donc ABC est rectangle en C.

Les mots « on sait que », « or », « donc » ne sont pas obligatoires ; d'autres formulations sont possibles (« d'après… », « comme… »). Ce qui compte, c'est que les trois éléments soient là, et que les données correspondent à l'hypothèse de la propriété.

Ici, deux pas s'enchaînent déjà. Comment organiser une démonstration plus longue, ce sera l'épisode 9.
[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Programme du cycle 4 — Les élèves valident par le raisonnement et la démonstration les propriétés qu'ils conjecturent ; le programme cite comme démonstration possible celle de la somme des angles d'un triangle [1].
  • Repères de progression de 4e — Une progressivité dans l'apprentissage de la recherche de preuve est aménagée pour encourager les élèves, et aucun formalisme excessif n'est exigé dans la rédaction [2].
[4]Mythes
« Démontrer, c'est donner beaucoup d'exemples. »
les exemples ne prouvent rien (épisode 5) ; on démontre avec les données et le cours.
« Il faut toujours écrire « on sait que, or, donc ». »
ce qui compte, ce sont les trois éléments : données, propriété, conclusion. Les mots peuvent varier, selon les consignes de ton professeur.
« Une démonstration, c'est long et compliqué. »
beaucoup tiennent en un ou deux pas de trois lignes.
[5]Quiz

1. Dans un pas de démonstration, que doit-on écrire après « or » ?

« or » introduit la règle qui permet de passer des données à la conclusion.

2. « On sait que ABCD a ses côtés opposés parallèles. Or … Donc ABCD est un parallélogramme. » Que mettre après « or » ?

la propriété (ici la définition) dont l'hypothèse correspond aux données.

3. Pourquoi « il a l'air rectangle » n'est-il pas une démonstration ?

une démonstration n'utilise que les données et le cours.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 7

≈ 18 min

Exercice — Deux démonstrations à rédiger

  1. Dans le triangle ABC, Â = 35° et B̂ = 55°. Démontre que ABC est rectangle.
  2. ABCD est un quadrilatère tel que (AB) // (CD) et (AD) // (BC). Démontre que ABCD est un parallélogramme.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. On sait que ABC est un triangle avec  = 35° et B̂ = 55°. Or la somme des angles d'un triangle vaut 180°. Donc Ĉ = 180 − 35 − 55 = 90°. Un triangle qui a un angle droit est rectangle : ABC est rectangle en C.
  2. On sait que (AB) // (CD) et (AD) // (BC) : les côtés opposés de ABCD sont parallèles. Or un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme.

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
ON SAIT QUE … (données = hypothèse)
OR … (propriété du cours : si…, alors…)
DONC … (conclusion)

Checklist

  • Mes deux démonstrations ont les trois éléments : données, propriété, conclusion.
  • Les données correspondent bien à l'hypothèse de la propriété.
  • Je n'ai utilisé ni l'apparence de la figure ni des exemples.
VigilanceSi ton professeur a une autre façon de rédiger, suis-la ; les trois éléments restent les mêmes.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Récris une justification de géométrie de ton cahier avec « on sait que, or, donc ». Qu'est-ce qui manquait dans la version d'origine ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), thème « Espace et géométrie » (consulté le 25 octobre 2026).
  2. Académie de Bordeaux, « Espace et géométrie en quatrième », compilation des repères de progression et des attendus de fin d'année (note de service n° 2019-072 du 28 mai 2019) (consulté le 25 octobre 2026).
08
S4 · Jeudi · Bilan

Vrai ou faux, et justifie !

Arbre de décision · carrousel · quiz final · badge

⏱ 28 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 17 h Fin février. Un mois plus tôt, Noé répondait « vrai » parce que ses exemples marchaient et « il a l'air rectangle » en géométrie. Aujourd'hui, devant un « vrai ou faux, justifie », il découpe les « et » et les « ou », cherche un contre-exemple dans les cas dangereux, ou rédige un pas de démonstration. Et il vérifie toujours l'hypothèse.
[2]Outil

Vrai ou faux ? Comment justifier

Aide à la décision interactive
[3]Carrousel

🎨 Carrousel récapitulatif — Arc 1

MASTER · ARC 1 · 1/5

Raisonner

quatre outils pour justifier.

2/5 · ET, OU, NON

« Et » :

tout vrai. « Ou » : au moins un, les deux permis. Contraire de x > 2 : x ≤ 2.

3/5 · SI… ALORS

Hypothèse, conclusion.

Je vérifie l'hypothèse avant d'écrire la conclusion.

4/5 · LE CONTRE-EXEMPLE

Un seul suffit pour réfuter ;

mille exemples ne prouvent rien.

5/5 · DÉMONTRER

On sait que, or, donc.

Prochain arc : démontrer en plusieurs pas, réciproque, contraposée.

[4]Quiz final

1. « 12 est pair ou multiple de 5 » est…

12 est pair ; pour « ou », cela suffit (épisode 1).

2. Dans « Si un triangle est équilatéral, alors ses angles mesurent 60° », la conclusion est…

la conclusion suit « alors » (épisode 3).

3. Quel nombre réfute « tout nombre multiplié par 3 devient plus grand » ?

3 × (−2) = −6 < −2 (épisodes 5 et 6). Pour 0,5 : 1,5 > 0,5, la règle marche.

4. Une affirmation est vérifiée sur 100 exemples. Elle est…

seuls une démonstration ou un contre-exemple tranchent (épisode 5).

5. Dans « on sait que / or / donc », que met-on après « or » ?

« or » introduit la règle (épisode 7).
[5]Kit

🎒 Ton kit de fin d'arc

≈ 20 min

Ma fiche « raisonner » : recopie l'arbre de décision dans ton cahier ; puis choisis 3 affirmations de ton cours ou de ton manuel et, pour chacune, prouve-la en un pas ou réfute-la par un contre-exemple.

  • J'ai exporté mon carnet (bouton dans le menu).
  • Je sais expliquer la différence entre un exemple, un contre-exemple et une démonstration.
[6]Journal

✍️ Journal de bord — bilan

Quelle justification de ce mois-ci ne t'aurait pas été possible en janvier ?

✦ 4e Master · Arc 1 Raisonner ✦

Bravo ! Tu manies et, ou, non, tu vérifies l'hypothèse, tu réfutes par un contre-exemple et tu rédiges un pas de démonstration.

ARC 2 · MARS · SEMAINES 5 À 8

Démontrer

En mars, tu passes à de vraies démonstrations : plusieurs pas enchaînés, la réciproque pour prouver qu'un triangle est rectangle ou que des droites sont parallèles, la contraposée pour prouver le contraire, et la lettre qui représente n'importe quel nombre.

Semaine 5
09
S5 · Mardi · Comprendre

Enchaîner plusieurs pas

Notion : la démonstration en plusieurs pas

⏱ 25 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 14 h « Dans le triangle EFG, Ê = 40°, F̂ = 50°, EG = 6 cm et FG = 8 cm. Calcule EF. » Noé veut utiliser Pythagore… mais rien ne dit que EFG est rectangle. Il bloque. Puis il remarque qu'avec les deux angles, il pourrait d'abord trouver le troisième.
[2]Concept

Un pas de démonstration a trois temps (voir épisode 7). Une démonstration en plusieurs pas est une chaîne : la conclusion d'un pas devient une donnée du pas suivant.

PAS 1 On sait queÊ = 40°, F̂ = 50° Orsomme des angles = 180° DoncĜ = 90° : rectangle en G la conclusion devient une donnée PAS 2 On sait queEFG rectangle en G Orthéorème de Pythagore DoncEF² = 36 + 64 ; EF = 10 cm Au brouillon, on trouve la chaîne à l'envers ; sur la copie, on la rédige à l'endroit.
Une démonstration en deux pas : une chaîne.

Comment trouver la chaîne ? Faire le plan à l'envers, au brouillon :

  1. Je pars de ce que je veux obtenir : « EF ».
  2. Je me demande : quelle propriété donne EF ? → Pythagore.
  3. Quelle est son hypothèse ? → EFG rectangle.
  4. L'ai-je ? Non → quelle propriété donnerait « rectangle » ? → un angle droit ; et un angle se calcule avec la somme des angles.
  5. J'ai les deux angles dans l'énoncé : la chaîne est trouvée. Je la rédige à l'endroit.

Rédaction :

  • Pas 1 — On sait que Ê = 40° et F̂ = 50°. Or la somme des angles d'un triangle vaut 180°. Donc Ĝ = 180 − 40 − 50 = 90° : EFG est rectangle en G.
  • Pas 2 — On sait que EFG est rectangle en G. Or, d'après le théorème de Pythagore, EF² = EG² + FG². Donc EF² = 36 + 64 = 100 et EF = 10 cm.
[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Programme du cycle 4 — La compétence « Chercher » demande de décomposer un problème en sous-problèmes ; la compétence « Raisonner » demande de démontrer avec des règles établies [1].
  • Repères de progression de 4e — L'apprentissage de la preuve est progressif ; les problèmes de 4e mobilisent les configurations (Pythagore, Thalès, cosinus) pour déterminer des grandeurs et mener des raisonnements [2].
[4]Mythes
« Une démonstration se trouve en lisant l'énoncé du début à la fin. »
on la trouve souvent à l'envers, en partant de ce qu'on veut ; on la rédige ensuite à l'endroit.
« Si une propriété ne s'applique pas tout de suite, l'exercice est impossible. »
il faut parfois démontrer d'abord l'hypothèse qui manque.
« Le plan au brouillon, c'est du temps perdu. »
il évite de rédiger une démonstration qui ne mène nulle part.
[5]Quiz

1. Dans une démonstration en deux pas, la conclusion du pas 1 sert à…

c'est le principe de la chaîne.

2. Tu veux une longueur avec Pythagore, mais l'énoncé ne dit pas que le triangle est rectangle. Que fais-tu ?

on démontre d'abord l'hypothèse qui manque.

3. Faire le plan à l'envers, c'est…

au brouillon, on remonte de l'objectif aux données ; sur la copie, on rédige à l'endroit.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 9

≈ 17 min

Exercice — Le triangle EFG

  1. Au brouillon, fais le plan à l'envers pour calculer EF (Ê = 40°, F̂ = 50°, EG = 6 cm, FG = 8 cm).
  2. Rédige la démonstration en deux pas.
  3. Variante : dans le triangle RST, R̂ = 30° et Ŝ = 60°, RT = 4,5 cm, ST = 6 cm. Calcule RS.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. EF ← Pythagore ← EFG rectangle ← un angle droit ← somme des angles ← Ê et F̂ donnés.
  2. Voir la rédaction du concept : Ĝ = 90°, puis EF = 10 cm.
  3. T̂ = 180 − 30 − 60 = 90° : RST est rectangle en T. Pythagore : RS² = RT² + ST² = 20,25 + 36 = 56,25 ; RS = 7,5 cm.

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
PLUSIEURS PAS
Au brouillon : je pars de ce que je cherche et je remonte.
Sur la copie : pas 1, pas 2… ; la conclusion d'un pas
devient une donnée du suivant.

Checklist

  • J'ai fait le plan à l'envers au brouillon.
  • Ma démonstration a deux pas complets (on sait que / or / donc).
  • J'ai réussi la variante.
VigilanceDans le pas 2, nomme bien l'angle droit (« rectangle en G ») : c'est lui qui désigne l'hypoténuse.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Dans quel exercice récent aurais-tu eu besoin de démontrer d'abord un résultat intermédiaire ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétences « Chercher » et « Raisonner » (consulté le 25 octobre 2026).
  2. Académie de Bordeaux, « Espace et géométrie en quatrième », compilation des repères de progression et des attendus de fin d'année (note de service n° 2019-072 du 28 mai 2019) (consulté le 25 octobre 2026).
10
S5 · Jeudi · Pratiquer

Démonstration en deux pas avec Thalès

Méthode : démontrer d'abord le parallélisme

⏱ 25 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 16 h Exercice : M est sur [AB], N sur [AC], et les droites (MN) et (BC) sont toutes les deux perpendiculaires à (AB). Noé voit Thalès, mais l'énoncé ne dit pas que (MN) et (BC) sont parallèles. Il fait son plan à l'envers.
[2]Méthode

Pour Thalès, il faut des droites parallèles dans l'hypothèse (voir épisode 3). Quand elles ne sont pas données, on les démontre d'abord (voir épisode 9). La propriété la plus utile, vue en 6e :

Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.

La routine en deux pas :

  1. Pas 1 — On sait que (MN) ⊥ (AB) et (BC) ⊥ (AB). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc (MN) // (BC).
  2. Pas 2 — On sait que M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC). Or, d'après le théorème de Thalès, AM/AB = AN/AC = MN/BC. Donc on calcule.
Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Écrire chaque pas avec ses trois temps oblige à vérifier, à chaque étape, que l'hypothèse de la propriété est réunie. Les attendus de 4e demandent justement de mobiliser les configurations du programme pour mener des raisonnements et déterminer des grandeurs [1].

À retenirPas de parallèles donnés ? Je les démontre d'abord, puis j'applique Thalès.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« J'écris « les droites ont l'air parallèles, donc Thalès ». »
le parallélisme doit être démontré.
« Je cite la propriété des deux perpendiculaires à une même droite. »
c'est elle qui donne le parallélisme.
« Dans le pas 2, je rappelle les trois morceaux de l'hypothèse de Thalès. »
la démonstration est complète.
« Je saute le pas 1 parce qu'il est évident. »
rien n'est évident tant que ce n'est pas justifié.
[5]Quiz

1. (d₁) ⊥ (d) et (d₂) ⊥ (d). Que peut-on conclure ?

deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

2. AM = 4 cm, AB = 10 cm et (MN) // (BC). Quel est le rapport de Thalès ?

AM/AB = 4/10 = 0,4 (petit sur grand).

3. Pourquoi rédiger le pas 1 ?

sans le pas 1, l'hypothèse de Thalès n'est pas justifiée.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 10

≈ 17 min

Exercice — Le parallélisme d'abord

M est sur [AB] et N sur [AC]. (MN) ⊥ (AB) et (BC) ⊥ (AB). AM = 4 cm, AB = 10 cm, AC = 15 cm. Calcule AN.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  • Pas 1 : on sait que (MN) ⊥ (AB) et (BC) ⊥ (AB). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc (MN) // (BC).
  • Pas 2 : on sait que M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC). Or, d'après le théorème de Thalès, AM/AB = AN/AC. Donc 4/10 = AN/15 ; AN = 0,4 × 15 = 6 cm.
  • Contrôle : 6 < 15 ✓.

Checklist

  • J'ai démontré le parallélisme avant d'utiliser Thalès.
  • Mes deux pas ont chacun leurs trois temps.
  • J'ai contrôlé la vraisemblance de AN.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quelle propriété de 6e ou de 5e te sert encore pour démontrer en 4e ?

[8]Sources
  1. Académie de Bordeaux, « Espace et géométrie en quatrième », compilation des repères de progression et des attendus de fin d'année (note de service n° 2019-072 du 28 mai 2019) (consulté le 25 octobre 2026).
Semaine 6
11
S6 · Mardi · Comprendre

La réciproque

Notion : la réciproque d'une propriété

⏱ 26 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 15 h Exercice tiré des attendus officiels : « Alan a posé une étagère sur un mur vertical. RS = 42 cm, TR = 40 cm et ST = 58 cm. L'étagère est-elle horizontale ? » Noé sait que Pythagore part d'un triangle rectangle. Mais ici, c'est justement ce qu'il faut prouver.
[2]Concept

Une propriété s'écrit « Si P, alors Q » (voir épisode 3). Sa réciproque échange l'hypothèse et la conclusion : « Si Q, alors P ».

Une réciproque peut être fausse.

  • « Si un nombre est multiple de 4, alors il est pair » : vraie.
  • Réciproque : « Si un nombre est pair, alors il est multiple de 4 » : fausse (contre-exemple : 6, épisode 5).

Certaines réciproques sont vraies : elles deviennent des propriétés du cours.

ThéorèmeSa réciproque (vraie, au programme de 4e)Sert à montrer que…
Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².Si BC² = AB² + AC², alors ABC est rectangle en A.un triangle est rectangle
Si M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC), alors AM/AB = AN/AC.Si M ∈ [AB], N ∈ [AC] et AM/AB = AN/AC, alors (MN) // (BC).deux droites sont parallèles

Quel côté tester ? Pour la réciproque de Pythagore, on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres : si le triangle est rectangle, son plus grand côté est l'hypoténuse.

L'étagère : le plus grand côté est [ST]. ST² = 58² = 3 364 ; RS² + TR² = 42² + 40² = 1 764 + 1 600 = 3 364. Égalité : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, RST est rectangle en R. L'étagère est perpendiculaire au mur vertical : elle est horizontale.

[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Attendus de fin de 4e — Le théorème de Pythagore et sa réciproque, le théorème de Thalès et sa réciproque (configuration des triangles emboîtés) figurent parmi les connaissances de 4e ; l'élève démontre qu'un triangle est rectangle à partir des longueurs de ses côtés et démontre le parallélisme de deux droites en s'appuyant sur des rapports de longueurs [1].
  • Attendus de fin de 4e — L'exemple de l'étagère (RS = 42 cm, TR = 40 cm, ST = 58 cm) est un exemple de réussite officiel [1].
[4]Mythes
« Une réciproque est toujours vraie. »
souvent non ; il faut la démontrer ou trouver un contre-exemple.
« Réciproque et théorème, c'est pareil. »
ils servent à des choses différentes : le théorème calcule une longueur dans un triangle rectangle ; la réciproque prouve qu'un triangle est rectangle.
« Pour la réciproque de Pythagore, n'importe quel côté fait l'affaire. »
on teste avec le plus grand côté.
[5]Quiz

1. Quelle est la réciproque de « Si x = 3, alors x² = 9 » ?

on échange hypothèse et conclusion. Cette réciproque est fausse : x = −3 donne aussi x² = 9.

2. Pour prouver qu'un triangle est rectangle à partir de ses trois longueurs, on utilise…

la réciproque part de l'égalité pour conclure « rectangle ».

3. Triangle de côtés 5, 12, 13. Quel calcul faire ?

on teste avec le plus grand côté. 169 = 25 + 144 : le triangle est rectangle.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 11

≈ 18 min

Exercice — Réciproques vraies ou fausses, et l'étagère

  1. Écris la réciproque de chaque propriété et dis si elle est vraie (si elle est fausse, donne un contre-exemple) :
    • a) Si un nombre entier est multiple de 10, alors il se termine par 0.
    • b) Si ABCD est un carré, alors ses diagonales ont la même longueur.
    • c) Si x = 3, alors x² = 9.
  2. Rédige la solution complète de l'étagère.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. a) « Si un nombre entier se termine par 0, alors il est multiple de 10 » : vraie. b) « Si les diagonales de ABCD ont la même longueur, alors ABCD est un carré » : fausse (un rectangle non carré). c) « Si x² = 9, alors x = 3 » : fausse (x = −3).
  2. Le plus grand côté est [ST]. D'une part, ST² = 58² = 3 364. D'autre part, RS² + TR² = 42² + 40² = 1 764 + 1 600 = 3 364. Donc ST² = RS² + TR². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, RST est rectangle en R : l'étagère est perpendiculaire au mur vertical, donc horizontale.

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
RÉCIPROQUE de « Si P, alors Q » : « Si Q, alors P ».
Elle peut être fausse (contre-exemple) ou vraie (propriété du cours).
Pythagore réciproque : je teste le PLUS GRAND côté.
« D'une part … ; d'autre part … ; donc … »

Checklist

  • Je sais écrire la réciproque d'une propriété.
  • J'ai trouvé les deux réciproques fausses et leurs contre-exemples.
  • J'ai rédigé l'étagère avec « d'une part, d'autre part ».
VigilanceCalcule les deux membres séparément (« d'une part, d'autre part ») ; n'écris pas 58² = 42² + 40² avant de l'avoir vérifié.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Trouve une phrase de la vie courante dont la réciproque est fausse (exemple : « s'il pleut, le sol est mouillé »).

[8]Sources
  1. Académie de Bordeaux, « Espace et géométrie en quatrième », compilation des repères de progression et des attendus de fin d'année (note de service n° 2019-072 du 28 mai 2019), exemples de réussite (consulté le 25 octobre 2026).
12
S6 · Jeudi · Pratiquer

Pythagore et Thalès dans les deux sens

Méthode : choisir entre le théorème et sa réciproque

⏱ 26 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 17 h Devoir maison avec quatre questions de géométrie. Noé hésite à chaque fois : théorème ou réciproque ? Il remarque que la question elle-même donne la réponse : « calcule » ou « démontre que… est rectangle / sont parallèles ».
[2]Méthode

Le théorème et sa réciproque (voir épisode 11) répondent à des questions différentes. La routine « dans quel sens ? » :

La question demande…J'ai dans l'énoncé…J'utilise
de calculer une longueurun triangle rectanglele théorème de Pythagore
de démontrer qu'un triangle est rectangleses trois longueursla réciproque de Pythagore
de calculer une longueurdes droites parallèles (triangles emboîtés)le théorème de Thalès
de démontrer que des droites sont parallèlesdes longueurs (triangles emboîtés)la réciproque de Thalès
Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Ce qu'on cherche est la conclusion de la propriété à utiliser ; ce qu'on a en est l'hypothèse (épisode 3). En lisant la question, on sait donc dans quel sens prendre la propriété.

À retenir« calcule » → théorème ; « démontre que c'est rectangle / parallèle » → réciproque.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« Pour démontrer qu'un triangle est rectangle, j'écris « d'après le théorème de Pythagore ». »
c'est la réciproque qu'il faut citer.
« Pour la réciproque de Thalès, je vérifie que les points sont dans le même ordre. »
M sur [AB] et N sur [AC].
« Je calcule les deux rapports séparément avant de les comparer. »
on ne suppose pas l'égalité.
« Les rapports 0,6 et 0,59 sont presque égaux : les droites sont parallèles. »
il faut l'égalité exacte.
[5]Quiz

1. « Démontre que (MN) // (BC). » On connaît AM, AB, AN, AC. Outil ?

on veut conclure « parallèles » à partir de rapports.

2. Triangle 5 ; 12 ; 13. Est-il rectangle ?

réciproque de Pythagore avec le plus grand côté.

3. AM/AB = 3/5 et AN/AC = 4,5/7,5. Ces rapports sont…

3 ÷ 5 = 0,6 et 4,5 ÷ 7,5 = 0,6.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 12

≈ 18 min

Exercice — Quatre questions, quatre sens

  1. ABC a pour côtés AB = 5 cm, BC = 13 cm, AC = 12 cm. Démontre qu'il est rectangle.
  2. M ∈ [AB], N ∈ [AC], AM = 3 cm, AB = 5 cm, AN = 4,5 cm, AC = 7,5 cm. Démontre que (MN) // (BC).
  3. Dans la figure de la question 2, BC = 8 cm. Calcule MN.
  4. Écris la réciproque de « Si un nombre est multiple de 4, alors il est pair » et dis si elle est vraie.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. Plus grand côté [BC]. D'une part BC² = 169 ; d'autre part AB² + AC² = 25 + 144 = 169. Donc BC² = AB² + AC². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.
  2. D'une part AM/AB = 3/5 = 0,6 ; d'autre part AN/AC = 4,5/7,5 = 0,6. Les rapports sont égaux, M ∈ [AB] et N ∈ [AC]. D'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) // (BC).
  3. Maintenant que (MN) // (BC) est démontré, le théorème de Thalès donne MN/BC = 0,6, donc MN = 0,6 × 8 = 4,8 cm.
  4. « Si un nombre est pair, alors il est multiple de 4 » : fausse (6).

Checklist

  • J'ai choisi théorème ou réciproque d'après la question.
  • J'ai calculé « d'une part, d'autre part » avant de conclure.
  • J'ai utilisé en question 3 le parallélisme démontré en question 2.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Laquelle des quatre lignes du tableau « dans quel sens ? » te pose le plus de difficultés ?

[8]Sources
  1. Académie de Bordeaux, « Espace et géométrie en quatrième », compilation des repères de progression et des attendus de fin d'année (note de service n° 2019-072 du 28 mai 2019) (consulté le 25 octobre 2026).
Semaine 7
13
S7 · Mardi · Comprendre

La contraposée

Notion : la contraposée d'une propriété

⏱ 26 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 14 h « Un triangle a des côtés de 6 cm, 8 cm et 11 cm. Est-il rectangle ? » Noé calcule : 11² = 121 et 6² + 8² = 100. Pas égaux. « Donc il n'est pas rectangle », écrit-il. Juste ! Mais avec quelle propriété ? Ni le théorème ni la réciproque ne parlent de triangles « pas rectangles ».
[2]Concept

La contraposée de « Si P, alors Q » est : « Si non Q, alors non P » (avec les « non » de l'épisode 1).

Une propriété et sa contraposée sont toujours vraies ou fausses en même temps. Exemple : « S'il pleut, alors le sol est mouillé. » Contraposée : « Si le sol n'est pas mouillé, alors il ne pleut pas. » Les deux disent la même chose.

Attention à ne pas confondre (avec la réciproque de l'épisode 11) :

FormeValeur
PropriétéSi P, alors Qvraie
RéciproqueSi Q, alors Ppeut être fausse
ContraposéeSi non Q, alors non Ptoujours vraie si la propriété l'est

À quoi ça sert en 4e ? À démontrer qu'une chose est FAUSSE.

  • Théorème de Pythagore : « Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². » Contraposée : « Si BC² ≠ AB² + AC², alors ABC n'est pas rectangle en A. » Comme pour la réciproque, on teste le plus grand côté : s'il ne vérifie pas l'égalité, le triangle n'est rectangle nulle part.
  • Théorème de Thalès : « Si (MN) // (BC), alors AM/AB = AN/AC. » Contraposée : « Si AM/AB ≠ AN/AC, alors (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. »

Le triangle de Noé : plus grand côté 11 cm. D'une part 11² = 121 ; d'autre part 6² + 8² = 100. 121 ≠ 100, donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.

[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Programme du cycle 4 — La compétence « Raisonner » demande de démontrer en utilisant un raisonnement logique et des règles établies [1].
  • Attendus de fin de 4e — L'élève démontre qu'un triangle est (ou non) rectangle à partir des longueurs de ses côtés, et étudie le parallélisme de deux droites à partir de rapports de longueurs [2].
[4]Mythes
« Contraposée et réciproque, c'est pareil. »
la réciproque échange P et Q ; la contraposée les échange et les nie. Seule la contraposée garde toujours la même valeur que la propriété.
« Si l'égalité est presque vraie, le triangle est presque rectangle. »
un triangle est rectangle ou ne l'est pas ; 121 ≠ 100 suffit à conclure.
« « Pas rectangle », ça se voit sur la figure. »
un angle de 89° a l'air droit ; seul le calcul tranche.
[5]Quiz

1. Quelle est la contraposée de « Si un nombre est multiple de 4, alors il est pair » ?

on échange et on nie. (La réponse a est la réciproque ; la c est fausse : 6.)

2. Triangle 6 ; 8 ; 11. Quelle propriété permet de conclure qu'il n'est pas rectangle ?

121 ≠ 100, donc il n'est pas rectangle.

3. AM/AB = 0,6 et AN/AC ≈ 0,533. Que conclure ?

contraposée du théorème de Thalès : rapports différents → pas parallèles.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 13

≈ 18 min

Exercice — Prouver que c'est faux

  1. Un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 11 cm. Démontre qu'il n'est pas rectangle.
  2. M ∈ [AB], N ∈ [AC], AM = 3 cm, AB = 5 cm, AN = 4 cm, AC = 7,5 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
  3. Écris la contraposée de « Si ABCD est un carré, alors ABCD a quatre angles droits ».
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. Plus grand côté : 11 cm. D'une part 11² = 121 ; d'autre part 6² + 8² = 36 + 64 = 100. 121 ≠ 100 : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.
  2. D'une part AM/AB = 3/5 = 0,6 ; d'autre part AN/AC = 4/7,5 ≈ 0,533. 0,6 ≠ 0,533… : d'après la contraposée du théorème de Thalès, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
  3. « Si ABCD n'a pas quatre angles droits, alors ABCD n'est pas un carré. »

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
CONTRAPOSÉE de « Si P, alors Q » : « Si non Q, alors non P ».
Elle a TOUJOURS la même valeur que la propriété.
Sert à prouver que c'est FAUX :
pas rectangle (Pythagore), pas parallèles (Thalès).

Checklist

  • Je sais distinguer réciproque et contraposée.
  • J'ai démontré qu'un triangle n'est pas rectangle.
  • J'ai démontré que deux droites ne sont pas parallèles.
VigilancePour comparer deux rapports, ne les arrondis pas trop tôt. Deux rapports proches, comme 0,598 et 0,6, deviendraient égaux une fois arrondis au dixième : compare les valeurs exactes (ou les produits en croix).
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Récris avec tes mots la différence entre la réciproque et la contraposée, avec un exemple de la vie courante.

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétence « Raisonner » (consulté le 25 octobre 2026).
  2. Académie de Bordeaux, « Espace et géométrie en quatrième », compilation des repères de progression et des attendus de fin d'année (note de service n° 2019-072 du 28 mai 2019) (consulté le 25 octobre 2026).
14
S7 · Jeudi · Pratiquer

Rectangle ou pas ? Parallèles ou pas ?

Méthode : la routine « oui ou non » avec la bonne propriété

⏱ 26 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 16 h Série de « rectangle ou pas ? » pour préparer le contrôle. Noé a pris une habitude : calculer d'abord, et seulement ensuite choisir la propriété qui permet de conclure, réciproque ou contraposée.
[2]Méthode

Une seule routine, deux conclusions possibles (voir épisodes 11 et 13) :

  1. Je calcule séparément : « d'une part … ; d'autre part … » (le carré du plus grand côté et la somme des deux autres carrés, ou les deux rapports).
  2. Je compare : égaux ou différents ?
  3. Je conclus avec la bonne propriété :
    • égaux → réciproque (rectangle / parallèles) ;
    • différents → contraposée (pas rectangle / pas parallèles).
Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Calculer avant de choisir la propriété évite de « deviner » la réponse et de citer la mauvaise. Le résultat du calcul dit lui-même s'il faut la réciproque ou la contraposée.

À retenirJe calcule, je compare ; égal → réciproque ; différent → contraposée.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« Je décide « rectangle » avant de calculer. »
c'est le calcul qui décide.
« Égalité trouvée : je cite la réciproque. »
c'est elle qui conclut « rectangle ».
« Pas d'égalité : je cite le théorème de Pythagore. »
c'est la contraposée qui conclut « pas rectangle ».
« J'utilise le plus grand côté. »
c'est le seul qui peut être l'hypoténuse.
[5]Quiz

1. Triangle 9 ; 12 ; 16. Conclusion ?

16² = 256 ; 9² + 12² = 81 + 144 = 225 ; contraposée.

2. Triangle 7 ; 24 ; 25. Conclusion ?

25² = 625 ; 7² + 24² = 625 ; réciproque.

3. Les deux rapports de Thalès sont égaux. Quelle propriété citer ?

égalité → réciproque → parallèles.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 14

≈ 18 min

Exercice — Cinq décisions

Pour chacun : calcule, compare, conclus en citant la bonne propriété.

  1. Triangle 7 cm ; 24 cm ; 25 cm.
  2. Triangle 9 cm ; 12 cm ; 16 cm.
  3. Triangle 2,5 cm ; 6 cm ; 6,5 cm.
  4. M ∈ [AB], N ∈ [AC] : AM = 2, AB = 5, AN = 3, AC = 7,5. (MN) // (BC) ?
  5. M ∈ [AB], N ∈ [AC] : AM = 2, AB = 6, AN = 3, AC = 8. (MN) // (BC) ?
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. 25² = 625 ; 7² + 24² = 49 + 576 = 625 → égaux → réciproque : rectangle.
  2. 16² = 256 ; 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → différents → contraposée : pas rectangle.
  3. 6,5² = 42,25 ; 2,5² + 6² = 6,25 + 36 = 42,25 → égaux → réciproque : rectangle.
  4. 2/5 = 0,4 ; 3/7,5 = 0,4 → égaux → réciproque de Thalès : parallèles.
  5. 2/6 ≈ 0,333 ; 3/8 = 0,375 → différents → contraposée de Thalès : pas parallèles.

Checklist

  • J'ai calculé « d'une part, d'autre part » à chaque fois.
  • J'ai cité la réciproque pour les égalités et la contraposée pour les différences.
  • J'ai utilisé le plus grand côté pour les triangles.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quelle est maintenant ta phrase type pour conclure « pas rectangle » ? Ajoute-la à ton carnet de méthode.

[8]Sources
  1. Académie de Bordeaux, « Espace et géométrie en quatrième », compilation des repères de progression et des attendus de fin d'année (note de service n° 2019-072 du 28 mai 2019) (consulté le 25 octobre 2026).
Semaine 8
15
S8 · Mardi · Comprendre

Généraliser avec une lettre

Notion : la lettre pour représenter n'importe quel nombre

⏱ 24 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 14 h Programme de calcul : « Choisis un nombre, multiplie-le par 4, ajoute 8, divise par 4, enlève 2. » Noé essaie avec 3 : il retrouve 3. Avec −5 : il retrouve −5. « Ça marche toujours ? » Il ne peut pas essayer tous les nombres. Sa professeure lui tend une craie : « Essaie avec x. »
[2]Concept

Une lettre peut représenter n'importe quel nombre. Écrire un calcul avec une lettre, c'est écrire tous les cas d'un coup.

Traduire en expression :

PhraseExpression
Le programme de Noé, avec le nombre de départ x(4x + 8) ÷ 4 − 2
Un nombre pair (n entier)2n
Un nombre impair (n entier)2n + 1
Deux entiers consécutifsn et n + 1
Trois entiers consécutifsn ; n + 1 ; n + 2
Le périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur ℓ2L + 2ℓ ou 2(L + ℓ)

Tester une expression : on remplace la lettre par un nombre et on compare avec le calcul direct. Programme de Noé avec x = 3 : (4 × 3 + 8) ÷ 4 − 2 = 20 ÷ 4 − 2 = 3 ✓.

Ce qu'une expression permet : vérifier qu'on a bien traduit (en testant), comparer deux programmes, et surtout prouver un résultat pour tous les nombres en calculant avec la lettre : ce sera le début de l'arc 3.

[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Programme du cycle 4 — La compétence « Calculer » demande de calculer en utilisant le langage algébrique (lettres, symboles) ; dès la 5e, les élèves testent des égalités littérales sur des valeurs numériques [1].
  • Programme du cycle 4 — La compétence « Modéliser » demande de traduire en langage mathématique une situation [1].
[4]Mythes
« Une lettre, c'est un nombre inconnu à trouver. »
dans une équation oui (Pro, épisode 8) ; mais une lettre peut aussi représenter n'importe quel nombre, pour écrire tous les cas à la fois.
« 2n + 1 et 2n désignent le même genre de nombre. »
pour n entier, 2n est toujours pair et 2n + 1 toujours impair.
« Tester une expression sur un exemple prouve qu'elle est juste partout. »
un test vérifie la traduction ; il ne prouve pas un résultat général (épisode 5).
[5]Quiz

1. Comment écrire « trois entiers consécutifs » ?

chaque entier vaut 1 de plus que le précédent.

2. Quelle expression traduit « choisir un nombre, ajouter 5, multiplier par 3 » ?

on ajoute 5 d'abord, donc des parenthèses.

3. Pour n entier, 2n + 1 est…

c'est un nombre pair plus 1.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 15

≈ 16 min

Exercice — Écrire avec des lettres

  1. Écris l'expression du programme de Noé avec x, puis teste-la avec x = 3 et x = −5.
  2. Écris avec n : trois entiers consécutifs ; un nombre impair ; la somme de deux entiers consécutifs.
  3. Écris le périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur ℓ, puis calcule-le pour L = 7 cm et ℓ = 4 cm.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. (4x + 8) ÷ 4 − 2. Pour 3 : (12 + 8) ÷ 4 − 2 = 5 − 2 = 3. Pour −5 : (−20 + 8) ÷ 4 − 2 = −3 − 2 = −5.
  2. n ; n + 1 ; n + 2 — 2n + 1 — n + (n + 1).
  3. 2L + 2ℓ = 2 × 7 + 2 × 4 = 22 cm (ou 2(L + ℓ) = 2 × 11 = 22).

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
UNE LETTRE = N'IMPORTE QUEL NOMBRE
Pair : 2n · Impair : 2n + 1 · Consécutifs : n, n + 1, n + 2
Je teste ma traduction sur un nombre ;
tester n'est pas prouver.

Checklist

  • J'ai traduit le programme de calcul en expression.
  • J'ai écrit pair, impair et consécutifs avec n.
  • J'ai testé mes expressions sur des valeurs.
VigilanceLes parenthèses traduisent l'ordre du programme. « Ajouter 5 puis multiplier par 3 » donne 3(x + 5), pas 3x + 5.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Pour toi, quelle est la différence entre la lettre d'une équation et la lettre d'un programme de calcul ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétences « Calculer » et « Modéliser », thème « Nombres et calculs » (consulté le 25 octobre 2026).
16
S8 · Jeudi · Bilan

Quel raisonnement pour quelle question ?

Arbre de décision · carrousel · quiz final · badge

⏱ 28 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 17 h Fin mars. Noé a rédigé sa première démonstration en deux pas, prouvé qu'une étagère était horizontale et qu'un triangle n'était pas rectangle. Il a aussi découvert qu'avec une lettre, on écrit tous les cas d'un coup. Il lui reste à savoir choisir, devant chaque question, le bon raisonnement.
[2]Outil

Quel raisonnement pour quelle question ?

Aide à la décision interactive
[3]Carrousel

🎨 Carrousel récapitulatif — Arc 2

MASTER · ARC 2 · 1/5

Démontrer

choisir et enchaîner les bons outils.

2/5 · PLUSIEURS PAS

Plan à l'envers au brouillon ;

la conclusion d'un pas devient la donnée du suivant.

3/5 · LA RÉCIPROQUE

Si Q, alors P.

Parfois fausse ; vraie pour Pythagore et Thalès. Elle prouve « rectangle » ou « parallèles ».

4/5 · LA CONTRAPOSÉE

Si non Q, alors non P.

Toujours vraie avec la propriété. Elle prouve « pas rectangle », « pas parallèles ».

5/5 · LA LETTRE

n, 2n, 2n + 1, n + 1 :

tous les cas d'un coup. Prochain arc : prouver avec la lettre, chercher, l'IA, les automatismes.

[4]Quiz final

1. RST est rectangle en R, RS = 9 cm, RT = 12 cm. Pour calculer ST, on utilise…

on calcule une longueur dans un triangle rectangle. ST = 15 cm.

2. « Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont la même longueur. » Sa réciproque est…

une réciproque peut être fausse ; un contre-exemple suffit.

3. 10² = 100 et 6² + 7² = 85. Le triangle de côtés 6, 7, 10 est…

100 ≠ 85.

4. AM/AB = 0,5 et AN/AC = 0,5, avec M ∈ [AB], N ∈ [AC]. Conclusion ?

rapports égaux et points dans le bon ordre.

5. Comment écrire « un nombre pair plus le nombre pair suivant » ?

le nombre pair suivant 2n est 2n + 2.
[5]Kit

🎒 Ton kit de fin d'arc

≈ 20 min

Ma fiche « démontrer » : recopie l'arbre dans ton cahier ; puis prends un exercice de géométrie de ton manuel et rédige-le entièrement en citant à chaque pas la propriété exacte (théorème, réciproque ou contraposée).

  • J'ai exporté mon carnet (bouton dans le menu).
  • Je sais expliquer quand utiliser le théorème, la réciproque ou la contraposée.
[6]Journal

✍️ Journal de bord — bilan

Quelle démonstration de ce mois-ci es-tu le plus fier d'avoir écrite ? Pourquoi ?

✦ 4e Master · Arc 2 Démontrer ✦

Bravo ! Tu enchaînes les pas, tu utilises la réciproque et la contraposée, et tu écris tous les cas avec une lettre.

ARC 3 · AVRIL · SEMAINES 9 À 12

Chercher et prouver

En avril, tu prouves enfin tes conjectures avec des lettres, tu cherches de vrais problèmes ouverts, tu apprends à utiliser l'IA sans tricher, et tu installes tes premiers automatismes.

Semaine 9
17
S9 · Mardi · Comprendre

Prouver avec le calcul littéral

Notion : le calcul littéral comme outil de preuve

⏱ 25 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 14 h Noé ressort sa conjecture du Pro : « Choisis un nombre, ajoute 3, multiplie par 2, soustrais 6, divise par 2 : on retrouve toujours le nombre de départ. » Il l'avait testée sur quelques nombres, mais il sait maintenant que des exemples ne prouvent rien. Avec une lettre, peut-il la prouver pour tous les nombres ?
[2]Concept

Une lettre représente n'importe quel nombre (voir épisode 15). Calculer avec la lettre, c'est faire le calcul pour tous les nombres à la fois : si l'expression se simplifie en un résultat, ce résultat est vrai pour tous.

La méthode en 3 étapes :

  1. Traduire le problème en expression avec une lettre.
  2. Transformer l'expression : développer (k(a + b) = ka + kb), réduire (2x + 6 − 6 = 2x).
  3. Conclure : écrire ce que montre l'expression obtenue, pour tous les nombres.

La conjecture du Pro, prouvée :

  • Avec le nombre de départ x : (2(x + 3) − 6) ÷ 2.
  • 2(x + 3) − 6 = 2x + 6 − 6 = 2x, puis 2x ÷ 2 = x.
  • Conclusion : quel que soit le nombre choisi, on retrouve le nombre de départ. La conjecture est démontrée.

Prouver qu'un nombre est un multiple : il suffit de l'écrire sous la forme « k × (un entier) ». Exemple : la somme de trois entiers consécutifs.

  • n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1).
  • n + 1 est un entier, donc la somme est un multiple de 3, pour tous les entiers n.
Ici, on n'utilise que la distributivité simple, au programme de 4e.
[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Programme du cycle 4 — La compétence « Calculer » demande de calculer en utilisant le langage algébrique ; la compétence « Raisonner » demande de démontrer avec des règles établies, dont les formules [1].
  • Eduscol — Le document officiel sur les pratiques efficaces au collège recommande de travailler au quotidien le calcul mental et littéral, la faible maîtrise du calcul étant l'un des principaux obstacles aux progrès des élèves [2].
[4]Mythes
« Le calcul littéral, ça ne sert qu'à faire des exercices de calcul littéral. »
c'est l'outil qui permet de prouver un résultat pour tous les nombres.
« Si ça marche pour 10 nombres, c'est prouvé. »
seul le calcul avec la lettre couvre tous les cas (épisode 5).
« 3n + 3 n'est pas un multiple de 3, puisqu'il y a un « + 3 ». »
3n + 3 = 3(n + 1) : c'est bien 3 fois un entier.
[5]Quiz

1. Que vaut 2(x + 3) − 6 ?

2(x + 3) = 2x + 6, puis 2x + 6 − 6 = 2x.

2. Pour prouver qu'une somme est multiple de 5, il suffit de l'écrire sous la forme…

un multiple de 5 est 5 fois un entier.

3. Pourquoi la preuve littérale vaut-elle pour tous les nombres ?

le calcul fait avec x est valable quelle que soit la valeur de x.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 17

≈ 17 min

Exercice — Deux preuves

  1. Prouve que le programme « choisir un nombre, ×4, +8, ÷4, −2 » redonne toujours le nombre de départ (expression de l'épisode 15).
  2. Prouve que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. (4x + 8) ÷ 4 − 2 = x + 2 − 2 = x (car (4x + 8) ÷ 4 = 4x ÷ 4 + 8 ÷ 4 = x + 2). Quel que soit x, on retrouve x.
  2. n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1) ; n + 1 est entier, donc la somme est un multiple de 3.

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
PROUVER AVEC UNE LETTRE
1. Je traduis avec x (ou n).
2. Je développe et je réduis.
3. Je conclus : « quel que soit le nombre choisi, … ».
Multiple de k ↔ k × (un entier).

Checklist

  • J'ai prouvé le programme de calcul pour tous les nombres.
  • J'ai écrit la somme de trois consécutifs sous la forme 3 × (un entier).
  • Ma conclusion commence par « quel que soit… ».
Vigilance(4x + 8) ÷ 4 = x + 2 : on divise chaque terme par 4, pas seulement le premier.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quelle conjecture de cette année (en maths ou ailleurs) aimerais-tu pouvoir prouver ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétences « Calculer » et « Raisonner » (consulté le 25 octobre 2026).
  2. Ministère de l'Éducation nationale, Pratiques efficaces observées pour l'enseignement des mathématiques au collège, Eduscol, fiche « Travailler au quotidien le calcul mental et littéral » (consulté le 25 octobre 2026).
18
S9 · Jeudi · Pratiquer

Mes premières preuves littérales

Méthode : prouver ou réfuter

⏱ 25 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 16 h Yanis revient avec sa règle de février : « La somme de deux nombres pairs est paire. » Noé n'avait trouvé aucun contre-exemple. Aujourd'hui, il peut faire mieux : la prouver.
[2]Méthode

Face à une affirmation générale sur les nombres, deux issues possibles (voir épisodes 5 et 17) :

  1. Je teste quelques cas, dont les cas dangereux.
  2. Si un cas échoue → je réfute par un contre-exemple.
  3. Sinon → je traduis avec des lettres et je prouve.

Attention aux lettres : pour deux nombres pairs quelconques, on prend deux lettres différentes : 2a et 2b. Avec une seule lettre (2n et 2n), on ne parlerait que de deux nombres égaux.

Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Tester d'abord évite de chercher à prouver une affirmation fausse. Choisir des lettres différentes garantit que la preuve couvre tous les couples de nombres, pas seulement des cas particuliers.

À retenirJe teste ; si ça casse, contre-exemple ; sinon, des lettres (différentes si les nombres sont différents) et je prouve.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« Pour deux pairs quelconques, j'écris 2n et 2n. »
ce sont deux fois le même nombre ; il faut 2a et 2b.
« Je factorise pour faire apparaître 2 × (un entier). »
c'est ce qui prouve que le nombre est pair.
« J'essaie de prouver sans avoir testé. »
l'affirmation est peut-être fausse.
« Je termine par « quel que soit… ». »
la conclusion dit bien que c'est vrai pour tous.
[5]Quiz

1. Comment écrire deux nombres impairs quelconques ?

deux lettres différentes pour deux nombres qui peuvent être différents.

2. 2a + 2b = 2(a + b). Que prouve ce calcul ?

2 × (un entier) est pair.

3. « La somme de deux impairs est impaire. » Que fais-tu ?

un seul contre-exemple suffit.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 18

≈ 17 min

Exercice — Prouver ou réfuter

  1. « Choisir un nombre, ajouter 5, multiplier par 3, soustraire 15 : on obtient le triple du nombre de départ. »
  2. « La somme de deux nombres pairs est paire. »
  3. « La somme de deux nombres impairs est paire. »
  4. « La somme de deux nombres impairs est impaire. »
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. 3(x + 5) − 15 = 3x + 15 − 15 = 3x : prouvé, quel que soit x.
  2. 2a + 2b = 2(a + b), et a + b est entier : prouvé.
  3. (2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1) : prouvé.
  4. Fausse : 1 + 3 = 4 est pair. (Et la question 3 montre que c'est même toujours pair.)

Checklist

  • J'ai testé avant de prouver.
  • J'ai utilisé deux lettres différentes pour deux nombres quelconques.
  • J'ai réfuté l'affirmation fausse par un contre-exemple.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Laquelle des règles de Yanis de février as-tu maintenant prouvée ? Qu'est-ce que ça change par rapport à « je n'ai pas trouvé de contre-exemple » ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétence « Calculer » (consulté le 25 octobre 2026).
Semaine 10
19
S10 · Mardi · Comprendre

Conjecturer puis prouver : la démarche complète

Notion : la démarche de recherche et la narration de recherche

⏱ 26 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 15 h La professeure propose un « problème de recherche » sans méthode imposée, à rendre avec le récit de la recherche. Noé est perdu : « Raconter ? Mais on fait des maths, pas du français ! »
[2]Concept

Tu as tous les outils : des stratégies pour chercher (Pro, épisode 6), le contre-exemple (épisode 5), la démonstration (épisodes 7 et 9) et la preuve littérale (épisode 17). La démarche de recherche complète les enchaîne en 5 étapes :

ÉtapeCe que tu faisOutil
1. ExplorerEssayer des cas, faire un tableau, une figureStratégies (Pro, épisode 6)
2. ConjecturerÉcrire ce que tu penses vraiConjecture (Pro, épisode 13)
3. TesterChercher un contre-exemple dans les cas dangereuxÉpisodes 5 et 6
4. Prouver ou réfuterDémontrer avec le cours ou une lettre, ou donner le contre-exempleÉpisodes 7, 9, 17
5. RédigerÉcrire la solution, et parfois le récit de la rechercheRédaction (Boost, épisode 4)

La narration de recherche : c'est le récit écrit de ta recherche : ce que tu as essayé, ce qui n'a pas marché, ce que tu as remarqué, comment tu as trouvé l'idée. Elle compte autant que la réponse, parce qu'elle montre ta façon de raisonner. Ce qui n'a pas marché y a toute sa place.

Ce qu'on a le droit d'écrire : « Je n'ai pas réussi à prouver ma conjecture » est une conclusion honnête et valable, si la recherche est racontée.

[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Programme du cycle 4 — La compétence « Chercher » demande d'expérimenter, d'émettre des hypothèses et une conjecture ; les élèves valident ensuite par le raisonnement ce qu'ils ont conjecturé [1].
  • 1998 — F. Bonafé et M.-C. Combes ont présenté les « narrations de recherche » comme des points d'appui pour apprendre la démonstration, dans une publication de l'Institut de recherche mathématique de Rennes [2].
[4]Mythes
« Raconter ses essais ratés, c'est montrer qu'on est mauvais. »
les essais ratés font partie de toute recherche ; les raconter montre ta démarche.
« Un problème de recherche, soit on trouve, soit on a zéro. »
une recherche bien menée et racontée a de la valeur, même sans réponse complète.
« On commence par la preuve. »
on commence presque toujours par des essais ; la preuve vient à la fin.
[5]Quiz

1. Quelle est la première étape d'une recherche ?

on essaie, on observe, puis on conjecture.

2. Tu as une conjecture et aucun contre-exemple. Étape suivante ?

sans preuve, elle reste une conjecture.

3. Dans une narration de recherche, on écrit…

la narration raconte toute la démarche.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 19

≈ 18 min

Exercice — Une recherche complète en miniature

« Que peux-tu dire de la somme de deux entiers consécutifs ? »
  1. Explore : calcule 3 + 4, 10 + 11, 0 + 1, (−3) + (−2), 99 + 100.
  2. Conjecture : écris ce que tu remarques.
  3. Teste les cas dangereux.
  4. Prouve avec une lettre.
  5. Écris une narration de 5 à 8 lignes.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. 7 ; 21 ; 1 ; −5 ; 199.
  2. Conjecture : la somme de deux entiers consécutifs est toujours impaire.
  3. Avec des négatifs et 0, ça marche encore.
  4. n + (n + 1) = 2n + 1 : c'est un nombre impair, quel que soit l'entier n. Prouvé.
  5. Exemple : « J'ai d'abord calculé cinq sommes. Elles étaient toutes impaires. J'ai pensé que c'était toujours le cas. J'ai vérifié avec des nombres négatifs pour chercher un contre-exemple, sans en trouver. J'ai alors écrit les deux nombres n et n + 1 : leur somme est 2n + 1, un nombre pair plus 1, donc impair. »

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
DÉMARCHE DE RECHERCHE
1. Explorer  2. Conjecturer  3. Tester (contre-exemple ?)
4. Prouver ou réfuter  5. Rédiger (+ narration)
« Je n'ai pas réussi à prouver » est une conclusion honnête.

Checklist

  • J'ai suivi les 5 étapes.
  • J'ai prouvé ma conjecture avec une lettre.
  • J'ai écrit une narration qui raconte aussi mes essais.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Raconte une recherche (en maths ou ailleurs) où tu as essayé plusieurs pistes avant de trouver.

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétence « Chercher » (consulté le 25 octobre 2026).
  2. F. Bonafé et M.-C. Combes, « Narrations de recherche, points d'appui pour la démonstration », Publications de l'Institut de recherche mathématique de Rennes, S4, 1998, p. 239-257 (notice Numdam consultée le 25 octobre 2026).
20
S10 · Jeudi · Pratiquer

Problème ouvert et narration de recherche

Méthode : mener une recherche longue et la raconter

⏱ 30 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 16 h Le problème de recherche du mois arrive : « Quels nombres de 1 à 20 peuvent s'écrire comme la somme d'au moins deux entiers positifs consécutifs ? » Noé sort une grande feuille, un tableau, et décide de tout noter, même ce qui ne marchera pas.
[2]Méthode

Tu appliques la démarche en 5 étapes (voir épisode 19) à un vrai problème ouvert. Conseils pour une recherche longue :

  1. Organise tes essais dans un tableau (nombre / décomposition trouvée / pas trouvée).
  2. Cherche un motif dans ce qui marche et ce qui ne marche pas (Pro, épisode 6).
  3. Prouve ce que tu peux : même une partie du résultat vaut la peine.
  4. Sois honnête : sépare ce qui est prouvé de ce qui reste une conjecture.
  5. Raconte au fur et à mesure dans ta narration.
Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Un tableau rend les régularités visibles ; séparer « prouvé » et « conjecturé » est exactement ce que fait un mathématicien. La narration t'oblige à prendre du recul sur tes essais, ce qui fait souvent venir l'idée.

À retenirOrganiser, chercher un motif, prouver une partie, distinguer prouvé et conjecturé, raconter.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« Je n'écris que mes essais réussis. »
les échecs montrent aussi le motif.
« Je prouve une partie du résultat, même si je ne peux pas tout prouver. »
une preuve partielle a de la valeur.
« J'écris « c'est prouvé » pour une conjecture vérifiée sur 20 nombres. »
vérifier n'est pas prouver.
« Je range mes essais dans un tableau. »
le motif apparaît plus vite.
[5]Quiz

1. 9 peut-il s'écrire comme somme d'entiers positifs consécutifs ?

4 + 5 = 9 et 2 + 3 + 4 = 9.

2. Tout nombre impair 2k + 1 (avec k ≥ 1) s'écrit…

k + (k + 1) = 2k + 1 : deux entiers consécutifs.

3. Tu observes que 1, 2, 4, 8, 16 ne marchent pas, sans savoir le prouver. Tu écris…

on distingue honnêtement ce qui est prouvé de ce qui est conjecturé.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 20

≈ 22 min

Exercice — Le problème des sommes consécutives (30 minutes, narration comprise)

Quels nombres de 1 à 20 peuvent s'écrire comme la somme d'au moins deux entiers positifs consécutifs ?
  1. Fais un tableau de 1 à 20.
  2. Cherche un motif ; formule une conjecture.
  3. Prouve ce que tu peux.
  4. Écris ta narration de recherche (une demi-page).
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  • Exemples de décompositions : 3 = 1 + 2 ; 5 = 2 + 3 ; 6 = 1 + 2 + 3 ; 7 = 3 + 4 ; 9 = 4 + 5 ; 10 = 1 + 2 + 3 + 4 ; 11 = 5 + 6 ; 12 = 3 + 4 + 5 ; 13 = 6 + 7 ; 14 = 2 + 3 + 4 + 5 ; 15 = 7 + 8 ; 17 = 8 + 9 ; 18 = 5 + 6 + 7 ; 19 = 9 + 10 ; 20 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6.
  • Ne marchent pas : 1, 2, 4, 8 et 16.
  • Prouvé : tout nombre impair à partir de 3 s'écrit 2k + 1 = k + (k + 1), avec k ≥ 1 entier.
  • Conjecture : les nombres qui ne marchent pas sont les puissances de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32…). La preuve complète dépasse le niveau de 4e : il est juste de la laisser en conjecture.

Checklist

  • J'ai rempli le tableau de 1 à 20.
  • J'ai prouvé le cas des nombres impairs.
  • J'ai séparé clairement ce qui est prouvé et ce qui est conjecturé dans ma narration.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Qu'as-tu ressenti au moment où le motif est apparu ? À quel moment as-tu eu envie d'abandonner ?

[8]Sources
  1. F. Bonafé et M.-C. Combes, « Narrations de recherche, points d'appui pour la démonstration », Publications de l'Institut de recherche mathématique de Rennes, S4, 1998 (notice Numdam consultée le 25 octobre 2026).
Semaine 11
21
S11 · Mardi · Comprendre

Utiliser l'IA sans tricher

Notion : l'IA comme outil d'explication et de vérification, jamais à ta place

⏱ 26 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 18 h Yanis montre à Noé une réponse obtenue avec un assistant d'IA pour l'exercice de Thalès du devoir maison. La rédaction est impeccable, sûre d'elle… et le résultat, AN = 12,5 cm, est plus grand que AC = 7,5 cm. « L'IA s'est trompée ? » demande Yanis.
[2]Concept

Un assistant d'IA générative (un « chatbot ») produit du texte qui a l'air juste. Il peut se tromper, surtout en calcul et en raisonnement, et il ne te prévient pas.

Ce qu'il peut faire pour toi (avec un adulte et dans les règles) :

  • t'expliquer une notion autrement, avec un autre exemple ;
  • te proposer un exercice semblable pour t'entraîner ;
  • relire ta démarche et te poser des questions dessus.

Ce qu'il ne doit jamais faire : l'exercice à ta place. Un devoir fait par une IA ne t'apprend rien, et c'est de la triche.

Les règles à respecter :

  1. Les conditions d'âge de chaque outil, et l'accord de tes parents. Par exemple, ChatGPT n'est pas destiné aux moins de 13 ans et demande le consentement d'un parent entre 13 et 18 ans. D'autres outils sont réservés aux adultes : vérifie avec un adulte.
  2. Les règles de ton établissement et de ton professeur. Jamais d'IA pendant un contrôle.
  3. Aucune donnée personnelle (nom, adresse, photo, établissement).
  4. Toujours vérifier ce qu'elle dit, avec les 5 contrôles (Boost, épisode 3) et le cours.
  5. L'IA n'est pas une source : on ne cite pas « l'IA l'a dit » comme preuve.

Bien demander : « Explique-moi comment choisir les rapports dans le théorème de Thalès, sans me donner la réponse de mon exercice. »

[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • 14 juin 2025 — Le ministère de l'Éducation nationale a publié un cadre d'usage de l'IA en éducation : il prévoit un usage progressif et encadré des IA génératives pour les élèves à partir de la 4e, et une utilisation autonome seulement à partir du lycée ; il insiste sur la protection des données et sur les biais [1].
  • OpenAI — Selon son centre d'aide, ChatGPT n'est pas destiné aux enfants de moins de 13 ans, et un consentement parental est exigé de 13 à 18 ans [2].
[4]Mythes
« Une réponse d'IA bien rédigée est forcément juste. »
elle peut être fausse avec une rédaction parfaite ; il faut toujours vérifier.
« Utiliser l'IA pour faire ses devoirs, tout le monde le fait, ce n'est pas grave. »
un devoir fait à ta place ne t'apprend rien, et c'est de la triche ; au contrôle, l'IA ne sera pas là.
« L'IA est une source fiable, comme un manuel. »
elle peut inventer ; la source, c'est ton cours, ton manuel, ton professeur.
[5]Quiz

1. Quelle demande respecte les règles ?

on demande une explication, pas l'exercice à sa place.

2. L'IA affirme AN = 12,5 cm alors que N est sur [AC] avec AC = 7,5 cm. Que fais-tu ?

le contrôle de vraisemblance détecte l'erreur.

3. Pendant un contrôle, peut-on utiliser une IA ?

tout outil non autorisé est interdit en contrôle.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 21

≈ 18 min

Exercice — Corriger l'IA

Réponse fictive d'un assistant d'IA : « M ∈ [AB], N ∈ [AC], (MN) // (BC), AM = 3 cm, AB = 5 cm, AC = 7,5 cm. D'après le théorème de Thalès, AN = AC × AB ÷ AM = 7,5 × 5 ÷ 3 = 12,5 cm. »
  1. Quel contrôle montre que la réponse est fausse ?
  2. Où est l'erreur ? Corrige.
  3. Écris une demande à un assistant d'IA qui t'aiderait à comprendre sans te donner la réponse.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. Vraisemblance : N est sur [AC], donc AN < AC = 7,5 cm ; 12,5 cm est impossible.
  2. Le rapport est inversé. AM/AB = AN/AC, donc AN = AC × AM ÷ AB = 7,5 × 3 ÷ 5 = 4,5 cm (Pro, épisode 14).
  3. Exemple : « J'ai un exercice sur le théorème de Thalès. Ne me donne pas la réponse. Pose-moi des questions pour que je trouve moi-même dans quel ordre écrire les rapports. »

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
L'IA SANS TRICHER
Oui : expliquer autrement, proposer un exercice semblable, me questionner.
Non : faire l'exercice à ma place ; pendant un contrôle ; avec mes données perso.
Toujours : âge et accord des parents, règles de la classe, je VÉRIFIE.

Checklist

  • Je connais ce qu'une IA peut et ne doit pas faire pour moi.
  • J'ai trouvé et corrigé l'erreur de la réponse fictive.
  • J'ai écrit une demande qui ne me donne pas la réponse.
VigilanceN'utilise un assistant d'IA qu'avec l'accord de tes parents et dans les règles de ton établissement. Aucun exercice de ce livre n'en a besoin.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quelles sont les règles de ton collège ou de ton professeur sur l'IA ? Si tu ne les connais pas, à qui peux-tu les demander ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, L'IA en éducation : cadre d'usage, publié le 14 juin 2025 (page de l'académie de Paris, mise à jour de septembre 2025, consultée le 25 octobre 2026).
  2. OpenAI, centre d'aide, article « Âge requis pour ChatGPT » (consulté le 25 octobre 2026).
22
S11 · Jeudi · Pratiquer

Vérifier une solution avec un outil

Méthode : choisir l'outil selon ce qu'on vérifie

⏱ 25 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 17 h Noé relit la copie d'entraînement d'un camarade pour l'aider. Deux erreurs s'y cachent, d'après la professeure. Noé a une calculatrice, GeoGebra et un tableur. Lequel utiliser pour quoi ?
[2]Méthode

Un outil contrôle, il ne justifie pas (Pro, épisode 13) ; une IA explique, elle ne fait pas à ta place (voir épisode 21). Quel outil pour vérifier quoi ?

Je veux vérifier…OutilComment
un calcul, une solution d'équationcalculatriceje remplace la solution dans l'équation
une longueur, un angle, une figureGeoGebraje construis la figure et je mesure
un programme de calcul sur beaucoup de nombrestableurune colonne de nombres, une colonne de résultats
un raisonnementle coursje vérifie que la bonne propriété est citée (théorème, réciproque, contraposée)
L'outil trouve souvent une erreur de calcul ; une erreur de raisonnement, c'est toi qui la trouves, avec le cours.
Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Chaque outil est fiable pour un type de vérification. Les choisir selon ce qu'on vérifie évite de croire qu'un calcul juste rend un raisonnement juste.

À retenirCalcul → calculatrice ; figure → GeoGebra ; beaucoup de valeurs → tableur ; raisonnement → le cours.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« La calculatrice confirme mon calcul, donc mon raisonnement est juste. »
elle ne vérifie que le calcul.
« Je remplace la solution dans l'équation pour la vérifier. »
c'est le contrôle par remplacement.
« Je mesure sur GeoGebra et j'écris la mesure comme justification. »
le logiciel contrôle, il ne justifie pas.
« Je vérifie que la propriété citée correspond à la question. »
c'est là que se cachent les erreurs de raisonnement.
[5]Quiz

1. Pour vérifier x = 12 dans 3x − 7 = 2x + 5, on…

les deux membres valent 29 : la solution est juste.

2. « Le triangle 5 ; 12 ; 13 est rectangle d'après le théorème de Pythagore. » Où est l'erreur ?

on conclut « rectangle » avec la réciproque (épisode 11).

3. Quel outil pour tester un programme de calcul sur 50 nombres ?

une formule recopiée sur 50 lignes.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 22

≈ 17 min

Exercice — La copie à vérifier

1. Résoudre 3x − 7 = 2x + 5. Réponse : 3x − 2x = 5 − 7, donc x = −2.
2. Le triangle ABC a pour côtés AB = 5 cm, AC = 12 cm, BC = 13 cm. 13² = 169 et 5² + 12² = 169, donc d'après le théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.

Pour chaque question : choisis l'outil, trouve l'erreur, corrige.

Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. Calculatrice (remplacement) : 3 × (−2) − 7 = −13 et 2 × (−2) + 5 = 1 : différents, donc x = −2 est faux. Erreur : il fallait ajouter 7 des deux côtés : 3x − 2x = 5 + 7, donc x = 12 (contrôle : 29 = 29).
  2. Le cours : le calcul est juste, mais la propriété est fausse. Pour conclure « rectangle », c'est la réciproque du théorème de Pythagore (épisode 11). (GeoGebra peut confirmer l'angle droit, mais pas le justifier.)

Checklist

  • J'ai choisi l'outil selon ce que je vérifiais.
  • J'ai trouvé l'erreur de calcul par remplacement.
  • J'ai trouvé l'erreur de raisonnement avec le cours.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quel outil utilises-tu le plus pour vérifier ? Lequel te manque ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétences « Chercher » et « Calculer » (consulté le 25 octobre 2026).
Semaine 12
23
S12 · Mardi · Comprendre

Les automatismes : pourquoi et comment

Notion : les automatismes, s'entraîner sans calculatrice en temps limité

⏱ 24 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 14 h Dans un problème de Thalès, Noé passe trois minutes à calculer 0,6 × 7,5 sur son brouillon, perd le fil de son raisonnement et oublie la question. Sa professeure lui dit : « Si ce calcul était automatique, ta tête serait libre pour raisonner. »
[2]Concept

Un automatisme est un savoir-faire si bien installé qu'on l'utilise sans y penser : les tables, les fractions simples, les pourcentages courants, les règles des signes, les puissances de 10, réduire 2x + 3x…

Pourquoi c'est important : ta mémoire de travail est limitée (Pro, épisode 2). Si les petits calculs sont automatiques, elle reste libre pour comprendre et raisonner.

Comment on les installe :

  • Court : 5 à 10 minutes, pas une heure.
  • Souvent : plusieurs fois par semaine.
  • Sans calculatrice, et parfois en temps limité.
  • Avec correction immédiate : une erreur repérée va dans le carnet d'erreurs (Pro, épisode 4).

Et l'an prochain ? L'épreuve de mathématiques du brevet commence par une partie « automatismes » : pour la session 2027, 20 minutes, sur 6 points, sans calculatrice, avec des questions à réponses courtes. Le format peut évoluer d'ici ton brevet : ton professeur de 3e te donnera le format en vigueur.

[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Eduscol — Le document officiel sur les pratiques efficaces au collège rappelle que la mémoire de travail est limitée, recommande de travailler au quotidien le calcul mental et littéral, et de prévoir des temps dédiés à la maîtrise des automatismes [1].
  • 11 septembre 2026 — La note de service définissant les épreuves du brevet à compter de la session 2027 fixe l'épreuve de mathématiques à 2 heures : une première partie « automatismes et applications directes » de 20 minutes sur 6 points, calculatrice interdite, puis une partie « raisonnement et résolution de problèmes » de 1 h 40 sur 14 points, calculatrice autorisée [2].
  • Eduscol — Une liste indicative d'automatismes susceptibles d'être évalués au brevet est publiée par le ministère [3].
[4]Mythes
« Les automatismes, c'est du par cœur bête. »
ils libèrent la tête pour raisonner ; c'est un outil au service de la réflexion.
« Une grosse séance la veille suffit. »
les automatismes s'installent par des séances courtes et fréquentes.
« Avec la calculatrice, pas besoin d'automatismes. »
elle est interdite dans la partie automatismes du brevet, et le calcul mental sert à contrôler ce que donne la calculatrice.
[5]Quiz

1. Pourquoi travailler les automatismes ?

un calcul automatique ne « prend pas de place » dans la tête.

2. Quelle organisation est la plus efficace ?

court et fréquent installe durablement.

3. Pour la session 2027 du brevet, la partie automatismes dure…

20 minutes, 6 points, calculatrice interdite (format à revérifier pour ton année).
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 23

≈ 16 min

Exercice — Ma première série de 10 automatismes (sans calculatrice, 8 minutes)

  1. 25 % de 80
  2. (−3) × (−4)
  3. 10⁻² en écriture décimale
  4. 3/4 en écriture décimale
  5. Réduire 2x + 3x
  6. 7 × 8
  7. 1/2 + 1/4
  8. 3,5 × 100
  9. Périmètre d'un carré de côté 2,5 cm
  10. Solution de 2x = 14
Correction (à ouvrir après avoir cherché)

1. 20 ; 2. 12 ; 3. 0,01 ; 4. 0,75 ; 5. 5x ; 6. 56 ; 7. 3/4 ; 8. 350 ; 9. 10 cm ; 10. x = 7.

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
AUTOMATISMES
Court (5-10 min) · Souvent · Sans calculatrice · Correction immédiate
Chaque erreur → mon carnet d'erreurs.

Checklist

  • J'ai fait la série en 8 minutes sans calculatrice.
  • Je me suis corrigé tout de suite.
  • J'ai noté mes erreurs dans mon carnet.
VigilanceUn automatisme faux est pire qu'un automatisme absent. Si tu te trompes deux fois sur le même point, reprends la règle (carte de cours, Pro, épisode 2).
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quels automatismes te coûtent encore du temps ? Lesquels sont déjà « automatiques » ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, Pratiques efficaces observées pour l'enseignement des mathématiques au collège, Eduscol, fiches « Présenter les notions pas à pas », « Travailler au quotidien le calcul mental et littéral » et « Réviser régulièrement » (consulté le 25 octobre 2026).
  2. Ministère de l'Éducation nationale, note de service du 11 septembre 2026, « Définition des épreuves de l'examen du diplôme national du brevet à compter de la session 2027 », Bulletin officiel (consulté le 25 octobre 2026).
  3. Ministère de l'Éducation nationale, « Liste indicative d'automatismes pour le DNB », Eduscol (consulté le 25 octobre 2026).
24
S12 · Jeudi · Bilan

Chercher et prouver, et ma routine de 10 minutes

Arbre de décision · carrousel · quiz final · routine d'automatismes · badge

⏱ 30 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 17 h Fin avril. Noé a prouvé sa conjecture du Pro avec une lettre, mené sa première recherche longue, corrigé une IA qui se trompait et commencé ses séries d'automatismes. Il veut garder une routine courte pour les semaines qui viennent.
[2]Outil

J'ai une idée sur un problème

Aide à la décision interactive
[3]Carrousel

🎨 Carrousel récapitulatif — Arc 3

MASTER · ARC 3 · 1/5

Chercher et prouver

de la conjecture à la preuve.

2/5 · LA PREUVE LITTÉRALE

Je traduis avec une lettre, je développe, je réduis :

vrai pour tous les nombres.

3/5 · LA RECHERCHE

Explorer, conjecturer, tester, prouver ou réfuter, rédiger.

La narration raconte aussi les essais ratés.

4/5 · L'IA SANS TRICHER

Expliquer, proposer, questionner :

oui. Faire à ma place : jamais. Âge, règles, je vérifie.

5/5 · LES AUTOMATISMES

Court, souvent, sans calculatrice.

Dernier arc : préparer, réussir, transmettre.

[4]Quiz final

1. 5(x + 2) − 10 vaut…

5x + 10 − 10 = 5x (épisode 17).

2. Deux nombres pairs quelconques s'écrivent…

deux lettres différentes (épisode 18).

3. Dans une narration de recherche, on peut écrire « je n'ai pas réussi à prouver ma conjecture » si…

c'est une conclusion honnête (épisodes 19 et 20).

4. Un assistant d'IA donne une solution bien rédigée. Que fais-tu ?

l'IA peut se tromper et n'est pas une source (épisode 21).

5. Quelle organisation pour les automatismes ?

épisode 23.
[5]Kit

🎒 Ton kit de fin d'arc

≈ 22 min

Routine à faire 3 fois par semaine jusqu'en juin : 10 questions d'automatismes (choisis-les dans ton cours ou ton manuel) en 8 minutes, sans calculatrice ; 2 minutes de correction ; une fiche d'erreur pour chaque erreur nouvelle.

Série d'aujourd'hui (sans calculatrice) : 1. 10 % de 350 ; 2. (−5) × 4 ; 3. 2/5 en écriture décimale ; 4. 10³ × 10⁻¹ ; 5. Réduire 7a − 2a ; 6. 9 × 6 ; 7. Solution de x + 8 = 3 ; 8. 1,2 × 10 ; 9. 50 % de 18 ; 10. Aire d'un rectangle de 4 cm sur 2,5 cm.

Correction (à ouvrir après avoir cherché)

1. 35 ; 2. −20 ; 3. 0,4 ; 4. 10² = 100 ; 5. 5a ; 6. 54 ; 7. x = −5 ; 8. 12 ; 9. 9 ; 10. 10 cm².

  • J'ai exporté mon carnet (bouton dans le menu).
  • J'ai fait ma première routine de 10 minutes et noté mes erreurs.
[6]Journal

✍️ Journal de bord — bilan

Quelle conjecture as-tu prouvée ce mois-ci ? Laquelle reste une conjecture pour toi ?

✦ 4e Master · Arc 3 Chercher et prouver ✦

Bravo ! Tu prouves avec une lettre, tu mènes une recherche et tu la racontes, tu utilises l'IA sans tricher et tu entretiens tes automatismes.

ARC 4 · MAI-JUIN · SEMAINES 13 À 16

Préparer, réussir, transmettre

De mai à juin, tu transformes tout ce que tu sais en résultats : calcul mental rapide, révisions bien planifiées, gestion d'un devoir surveillé, et pour finir, expliquer ta méthode à quelqu'un d'autre.

Semaine 13
25
S13 · Mardi · Comprendre

Calcul mental : stratégies et contrôles rapides

Notion : stratégies de calcul mental et astuces de contrôle

⏱ 22 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 14 h Interrogation flash : « 48 × 5 ». Noé pose la multiplication dans sa tête, chiffre par chiffre, et s'embrouille dans les retenues. Sa voisine répond en deux secondes : « 240. J'ai fait 48 × 10 = 480, puis divisé par 2. »
[2]Concept

Les automatismes s'installent par un entraînement court et fréquent (voir épisode 23). Le calcul mental va plus loin : il ne s'agit pas de calculer plus vite de la même façon, mais de choisir un chemin plus simple.

StratégieIdéeExemple
× 5× 10, puis ÷ 248 × 5 = 480 ÷ 2 = 240
× 25× 100, puis ÷ 436 × 25 = 3 600 ÷ 4 = 900
× 99× 100, puis − 1 fois le nombre99 × 7 = 700 − 7 = 693
DécomposerCouper un nombre en morceaux simples12 × 15 = 12 × 10 + 12 × 5 = 120 + 60 = 180
Pourcentages10 % = ÷ 10 ; 50 % = ÷ 2 ; 25 % = ÷ 4 ; 5 % = moitié de 10 %15 % de 60 = 6 + 3 = 9
DécimauxSe ramener à des entiers1,2 × 50 = 120 ÷ 2 = 60

Les contrôles rapides (renvoi aux 5 contrôles du Boost, épisode 3) :

  • le dernier chiffre : 48 × 5 se termine forcément par 0 (8 × 5 = 40) ;
  • l'ordre de grandeur : 99 × 7 ≈ 100 × 7 = 700 ;
  • la parité : un nombre pair fois n'importe quel entier donne un nombre pair.
[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Eduscol — Le document officiel sur les pratiques efficaces au collège recommande de travailler au quotidien le calcul mental et littéral, et d'analyser les erreurs de calcul [1].
  • Programme du cycle 4 — La compétence « Calculer » demande de calculer avec des nombres rationnels de manière exacte ou approchée, en combinant de façon appropriée le calcul mental, le calcul posé et le calcul instrumenté, et de contrôler la vraisemblance de ses résultats [2].
[4]Mythes
« Le calcul mental, c'est un don. »
ce sont des stratégies qui s'apprennent et des automatismes qui s'entraînent.
« Il faut calculer de tête exactement comme sur papier. »
le calcul mental choisit souvent un autre chemin, plus simple.
« Avec la calculatrice, le calcul mental ne sert à rien. »
il sert à contrôler ce qu'affiche la calculatrice, et il est seul autorisé dans la partie automatismes du brevet.
[5]Quiz

1. 64 × 5 = ?

64 × 10 = 640, puis 640 ÷ 2 = 320.

2. 25 % de 84 = ?

25 %, c'est le quart : 84 ÷ 4 = 21.

3. 99 × 12 = ?

1 200 − 12 = 1 188. Contrôle : ordre de grandeur 1 200, et un nombre pair.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 25

≈ 14 min

Exercice — Choisis ta stratégie (sans calculatrice). Pour chaque calcul, écris la stratégie, le résultat et un contrôle rapide.

  1. 48 × 5
  2. 36 × 25
  3. 99 × 7
  4. 15 % de 60
  5. 1,2 × 50
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. × 10 ÷ 2 : 480 ÷ 2 = 240 (finit par 0 ✓).
  2. × 100 ÷ 4 : 3 600 ÷ 4 = 900 (ordre de grandeur 40 × 25 = 1 000 ✓).
  3. × 100 − 7 : 700 − 7 = 693 (≈ 700 ✓).
  4. 10 % = 6 et 5 % = 3 : 9 (moins que 25 % = 15 ✓).
  5. 1,2 × 100 = 120, puis ÷ 2 : 60 (environ 1 × 50 ✓).

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
CALCUL MENTAL
×5 = ×10 ÷2 · ×25 = ×100 ÷4 · ×99 = ×100 −1 fois
Décomposer · 10 % = ÷10 · 25 % = ÷4 · 5 % = moitié de 10 %
Contrôle : dernier chiffre, ordre de grandeur, parité.

Checklist

  • Je connais au moins 4 stratégies de calcul mental.
  • J'ai fait les 5 calculs sans calculatrice, avec un contrôle chacun.
  • J'ai noté la stratégie qui me fait gagner le plus de temps.
VigilanceUne stratégie rapide mais mal appliquée donne un résultat faux en confiance. Garde toujours un contrôle rapide.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quelle stratégie vas-tu utiliser dès demain ? Dans quel exercice de ta classe aurait-elle servi ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, Pratiques efficaces observées pour l'enseignement des mathématiques au collège, Eduscol, fiche « Travailler au quotidien le calcul mental et littéral » (consulté le 25 octobre 2026).
  2. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétence « Calculer » (consulté le 25 octobre 2026).
26
S13 · Jeudi · Pratiquer

Séries chronométrées

Méthode : s'entraîner en temps limité et suivre ses progrès

⏱ 25 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 17 h Noé fait sa routine de 10 minutes depuis trois semaines. Il veut savoir s'il progresse vraiment. Il décide de chronométrer des séries et de noter son score, sans se comparer à personne : seulement à lui-même la semaine d'avant.
[2]Méthode

Tu connais les stratégies (voir épisode 25). La série chronométrée :

  1. 10 calculs, 5 minutes, sans calculatrice, en écrivant seulement le résultat.
  2. Correction immédiate : je compte mes bonnes réponses.
  3. Pour chaque erreur : quelle stratégie aurait marché ? Une fiche dans le carnet d'erreurs si l'erreur revient (Pro, épisode 4).
  4. Je note mon score dans un tableau de suivi daté, pour me comparer à moi-même.
Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Le temps limité oblige à choisir une stratégie au lieu de poser le calcul ; le suivi de son propre score montre les progrès, qui ne se voient pas d'un jour à l'autre. Se comparer à soi-même, et non aux autres, garde l'entraînement motivant.

À retenir10 calculs, 5 minutes, correction tout de suite, score noté, comparaison avec moi-même.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« Je compare mon score à celui de mes amis. »
chacun part d'un point différent ; compare-toi à toi-même.
« Je corrige juste après la série. »
l'erreur est encore fraîche.
« Je refais toujours la même série pour avoir 10/10. »
tu apprends les réponses, pas les stratégies.
« Je note la stratégie qui m'aurait évité l'erreur. »
c'est elle qui progresse.
[5]Quiz

1. (−7) × 6 = ?

signes contraires → résultat négatif.

2. 101 × 13 = ?

100 × 13 + 1 × 13 = 1 300 + 13.

3. Que fais-tu de tes scores ?

le suivi personnel montre les progrès.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 26

≈ 17 min

Trois séries chronométrées (5 minutes chacune, sans calculatrice)

Série A : 1. 45 × 5 ; 2. 24 × 25 ; 3. 99 × 6 ; 4. 10 % de 230 ; 5. 25 % de 48 ; 6. 0,5 × 86 ; 7. 7 × 12 ; 8. 1,5 × 20 ; 9. 200 ÷ 8 ; 10. 3,6 + 4,7.

Série B : 1. (−7) × 6 ; 2. (−2) × (−9) ; 3. 10⁴ × 10⁻² ; 4. 2/3 + 1/3 ; 5. 5/8 en écriture décimale ; 6. 20 % de 45 ; 7. 101 × 13 ; 8. Réduire 3x − 5x ; 9. 0,25 × 36 ; 10. 8².

Série C : 1. Solution de 3x = −12 ; 2. 1/5 en pourcentage ; 3. 35 × 4 ; 4. 12 × 11 ; 5. 50 % de 3,6 ; 6. 1 000 × 0,047 ; 7. −8 + 15 ; 8. Aire d'un carré de côté 1,5 cm ; 9. 75 % de 40 ; 10. Simplifier 6/8.

Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  • A : 225 ; 600 ; 594 ; 23 ; 12 ; 43 ; 84 ; 30 ; 25 ; 8,3.
  • B : −42 ; 18 ; 10² = 100 ; 1 ; 0,625 ; 9 ; 1 313 ; −2x ; 9 ; 64.
  • C : −4 ; 20 % ; 140 ; 132 ; 1,8 ; 47 ; 7 ; 2,25 cm² ; 30 ; 3/4.

Checklist

  • J'ai fait les trois séries en 5 minutes chacune.
  • J'ai noté mes trois scores avec la date.
  • J'ai écrit une stratégie pour chaque erreur.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quelle série a été la plus difficile ? Quel type de calcul dois-tu ajouter à ta routine ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, Pratiques efficaces observées pour l'enseignement des mathématiques au collège, Eduscol, fiches « Travailler au quotidien le calcul mental et littéral » et « Réviser régulièrement » (consulté le 25 octobre 2026).
Semaine 14
27
S14 · Mardi · Comprendre

Planifier ses révisions

Notion : réviser dans le temps, répétition espacée, auto-évaluation

⏱ 25 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 18 h Contrôle sur Pythagore et Thalès dans dix jours. Avant, Noé révisait tout la veille, deux heures d'affilée, et oubliait la moitié une semaine plus tard. Cette fois, il veut faire autrement, mais ne sait pas comment répartir son travail.
[2]Concept

Tu sais apprendre une leçon en te testant (Pro, épisode 1). Planifier, c'est décider quand le faire. Trois principes :

  1. Espacer : plusieurs séances courtes réparties sur plusieurs jours valent mieux qu'une longue séance la veille. Plus tu veux retenir longtemps, plus les séances peuvent être espacées.
  2. Mélanger : alterner les types d'exercices (Pythagore, réciproque, Thalès) oblige à choisir la bonne méthode, comme au contrôle.
  3. S'auto-évaluer : à chaque séance, cartes de cours (Pro, épisode 2) et carnet d'erreurs (Pro, épisode 4) ; ce qui est raté revient à la séance suivante.

Un plan sur 10 jours avant un contrôle :

JourSéance (20 à 30 min)
J−10Je fais la liste de ce qui sera évalué ; je fabrique ou relis mes cartes.
J−8Je me teste avec les cartes ; 3 exercices mélangés.
J−6Je relis mon carnet d'erreurs ; 3 nouveaux exercices mélangés.
J−4Cartes ratées ; un exercice long avec démonstration.
J−2Devoir blanc en temps limité, puis autocorrection (épisode 30).
J−1Séance courte : cartes ratées et carnet d'erreurs. Pas de nouveau chapitre. Dormir.
[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • 2006 — Une synthèse de 317 expériences publiée dans Psychological Bulletin (Cepeda et collègues) a étudié l'espacement des séances d'apprentissage : l'intervalle idéal entre deux séances s'allonge quand on veut retenir plus longtemps [1].
  • Eduscol — Le document officiel sur les pratiques efficaces au collège rappelle que les mathématiques sont cumulatives et demandent un entraînement régulier, et cite l'auto-évaluation parmi les pratiques à développer [2].
[4]Mythes
« Tout réviser la veille, c'est le plus efficace : tout est frais. »
on retient pour le lendemain, mais on oublie vite ; des séances espacées installent durablement.
« Réviser un chapitre à la fois, c'est mieux. »
mélanger les exercices t'entraîne à reconnaître quelle méthode utiliser, comme au contrôle.
« Plus je révise longtemps d'un coup, plus je retiens. »
la concentration baisse ; des séances de 20 à 30 minutes sont plus efficaces.
[5]Quiz

1. Quelle organisation est la meilleure pour un contrôle dans 10 jours ?

espacer les séances installe durablement.

2. Pourquoi mélanger Pythagore, réciproque et Thalès dans une même séance ?

au contrôle, les exercices ne disent pas quelle méthode utiliser.

3. Que faire la veille du contrôle ?

la veille sert à consolider, pas à tout apprendre.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 27

≈ 17 min

Exercice — Mon plan de 10 jours

  1. Choisis un vrai contrôle à venir (ou « Pythagore et Thalès »).
  2. Recopie le tableau des 10 jours et adapte-le à ton emploi du temps (5 ou 6 séances).
  3. Pour chaque séance, écris précisément ce que tu feras (quelles cartes, quels exercices, quelle page).

Exemple pour « Pythagore et Thalès » :

  • J−10 : liste (théorème et réciproque de Pythagore, contraposée, théorème et réciproque de Thalès, cosinus) ; 8 cartes.
  • J−8 : cartes + exercices E12 (Pro) et E11 (Master) mélangés.
  • J−6 : carnet d'erreurs + exercices E14 (Master).
  • J−4 : cartes ratées + démonstration en deux pas (E10, Master).
  • J−2 : devoir blanc (épisode 30).
  • J−1 : cartes ratées, carnet d'erreurs, dormir.

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
PLANIFIER : espacer · mélanger · m'auto-évaluer
5 ou 6 séances de 20-30 min sur 10 jours.
J-2 : devoir blanc. J-1 : séance courte, rien de nouveau, dormir.

Checklist

  • J'ai construit mon plan de 10 jours.
  • Chaque séance a un contenu précis.
  • Mon plan mélange les types d'exercices.
VigilanceUn plan trop ambitieux ne sera pas suivi. Mieux vaut 5 séances réalistes que 10 séances abandonnées.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Comment révisais-tu jusqu'ici ? Qu'est-ce qui sera le plus difficile à changer ?

[8]Sources
  1. N. J. Cepeda, H. Pashler, E. Vul, J. T. Wixted et D. Rohrer, « Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis », Psychological Bulletin, vol. 132, n° 3, 2006, p. 354-380 (notice PubMed consultée le 25 octobre 2026).
  2. Ministère de l'Éducation nationale, Pratiques efficaces observées pour l'enseignement des mathématiques au collège, Eduscol, fiches « Réviser régulièrement » et « Favoriser la pratique autonome » (consulté le 25 octobre 2026).
28
S14 · Jeudi · Pratiquer

Mon plan de révision en action

Méthode : suivre son plan et l'ajuster

⏱ 28 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 17 h Jour J−8 du plan de Noé. Il sort ses 8 cartes, en rate 3, puis enchaîne trois exercices mélangés. Sur la réciproque de Thalès, il hésite encore. Il le note : ce sera le point fort de la séance J−6.
[2]Méthode

Un plan sert si on le suit et si on l'ajuste (voir épisode 27). Chaque séance en 4 temps :

  1. Cartes (5 min) : je me teste ; les cartes ratées vont dans une pile « à revoir ».
  2. Exercices mélangés (15 min) : je ne regarde pas le chapitre avant de commencer ; je choisis la méthode moi-même.
  3. Correction (5 min) : avec le corrigé ; une fiche d'erreur pour chaque erreur nouvelle.
  4. Ajustement (2 min) : j'écris ce que la prochaine séance doit travailler en priorité.
Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Le test des cartes et la correction montrent exactement ce qui n'est pas encore su ; l'ajustement envoie le temps de révision là où il est utile, au lieu de revoir ce qu'on sait déjà.

À retenirCartes, exercices mélangés, correction, ajustement.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« Je regarde le titre du chapitre avant chaque exercice. »
au contrôle, aucun titre ne te dira quelle méthode utiliser.
« Je note la priorité de la séance suivante. »
le plan s'adapte à tes besoins.
« Je saute une séance, puis je fais tout en double le lendemain. »
on perd l'espacement ; reprends simplement le plan.
« Je refais les cartes ratées à la séance suivante. »
c'est la répétition espacée.
[5]Quiz

1. Combien de temps pour les cartes dans une séance de 25-30 minutes ?

les cartes ouvrent la séance, puis place aux exercices.

2. À la séance J−8, tu rates 3 cartes. Que fais-tu ?

elles reviennent à la séance suivante.

3. À quoi sert la dernière minute de la séance ?

c'est l'ajustement du plan.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 28

≈ 20 min

Exercice — Trois séances de ton plan

Réalise les séances J−10, J−8 et J−6 de ton plan (épisode 27). Si tu n'as pas de contrôle prévu, utilise ces exercices mélangés pour la séance J−8 :

  1. Le triangle de côtés 8 cm, 15 cm, 17 cm est-il rectangle ?
  2. M ∈ [AB], N ∈ [AC], (MN) // (BC), AM = 2 cm, AB = 8 cm, BC = 12 cm : calcule MN.
  3. Le triangle de côtés 4 cm, 5 cm, 6 cm est-il rectangle ?
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. 17² = 289 ; 8² + 15² = 64 + 225 = 289 → réciproque de Pythagore : rectangle.
  2. AM/AB = 2/8 = 0,25 ; MN = 0,25 × 12 = 3 cm (théorème de Thalès).
  3. 6² = 36 ; 4² + 5² = 16 + 25 = 41 → 36 ≠ 41 → contraposée : pas rectangle.

Checklist

  • J'ai réalisé au moins deux séances de mon plan.
  • J'ai noté la priorité de chaque séance suivante.
  • J'ai ouvert une fiche d'erreur pour chaque erreur nouvelle.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Ton plan était-il réaliste ? Qu'as-tu ajusté ?

[8]Sources
  1. N. J. Cepeda et collègues, « Distributed practice in verbal recall tasks: A review and quantitative synthesis », Psychological Bulletin, 2006 (notice PubMed consultée le 25 octobre 2026).
Semaine 15
29
S15 · Mardi · Comprendre

Lire un sujet et gérer son temps

Notions : lire un sujet de devoir et son barème ; gérer un temps limité

⏱ 24 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 15 h Devoir surveillé d'une heure. Noé commence l'exercice 1, bloque sur la question c, s'acharne vingt minutes… et rend une copie où les exercices 3 et 4, qu'il savait faire, sont vides.
[2]Concept

Tu sais lire un énoncé (Boost, épisode 1). Un sujet entier se lit autrement : avant de commencer, on en prend une vue d'ensemble.

Les 3 premières minutes :

  1. Lire tout le sujet, sans rien écrire.
  2. Repérer le barème : combien de points par exercice ?
  3. Choisir l'ordre : commencer par l'exercice qu'on sait le mieux faire (on a le droit de ne pas suivre l'ordre du sujet, en numérotant bien sa copie).

Gérer son temps : on garde du temps pour lire au début et pour vérifier à la fin, et on répartit le reste en proportion des points.

Exemple : devoir d'1 heure sur 20 points. Lecture : 5 min ; vérification : 5 min ; reste 50 min pour 20 points, soit 2,5 min par point. Un exercice sur 5 points vaut environ 12 minutes ; un exercice sur 6 points, 15 minutes.

Quand on bloque : on marque la question (une croix dans la marge), on passe à la suivante, on y revient à la fin. Une question ratée ne doit pas coûter les suivantes.

Les questions enchaînées : si tu n'as pas trouvé le résultat d'une question, tu peux souvent utiliser le résultat donné dans l'énoncé pour faire la suivante.

En 4e, il n'y a pas d'examen national : tu t'entraînes sur tes devoirs surveillés. Ces réflexes te serviront au brevet.
[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Programme du cycle 4 — La compétence « Chercher » demande de décomposer un problème en sous-problèmes, et de tester plusieurs pistes de résolution [1].
  • 11 septembre 2026 — Pour l'épreuve écrite du brevet (session 2027), la consigne générale est que toutes les réponses doivent être justifiées, sauf indication contraire, dans la partie « raisonnement et résolution de problèmes » [2].
[4]Mythes
« Il faut faire les exercices dans l'ordre. »
tu peux commencer par celui que tu maîtrises, à condition de bien numéroter ta copie.
« Si je bloque, je dois trouver avant de passer à la suite. »
marque la question et avance ; tu y reviendras.
« Lire tout le sujet au début, c'est perdre du temps. »
3 minutes de lecture permettent de bien répartir les 50 autres.
[5]Quiz

1. Devoir d'1 h sur 20 points, avec 5 min de lecture et 5 min de vérification. Combien de temps pour un exercice sur 4 points ?

50 min pour 20 points = 2,5 min par point ; 4 × 2,5 = 10 min.

2. Tu bloques sur la question 1c depuis 5 minutes. Que fais-tu ?

une question ne doit pas coûter les autres.

3. Quelle est la première chose à faire en recevant le sujet ?

la vue d'ensemble permet de répartir son temps. (Ton nom, écris-le aussi !)
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 29

≈ 16 min

Exercice — Organiser un devoir

Un devoir surveillé d'1 heure sur 20 points comporte 4 exercices : Ex. 1 (4 points, calcul), Ex. 2 (5 points, équation), Ex. 3 (6 points, géométrie), Ex. 4 (5 points, vrai ou faux justifiés).
  1. Prévois 5 minutes de lecture et 5 minutes de vérification. Combien de minutes par point ?
  2. Calcule le temps de chaque exercice.
  3. Dans quel ordre les ferais-tu, toi ? Pourquoi ?
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. 60 − 5 − 5 = 50 minutes pour 20 points : 2,5 minutes par point.
  2. Ex. 1 : 10 min ; Ex. 2 : 12,5 min ; Ex. 3 : 15 min ; Ex. 4 : 12,5 min (total 50 min ✓).
  3. Réponse personnelle : par exemple Ex. 1, puis Ex. 2, puis Ex. 4, puis Ex. 3 si la géométrie te demande plus de réflexion.

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
UN SUJET ENTIER
3 min : je lis tout, je repère le barème, je choisis l'ordre.
Temps ∝ points. 5 min de vérification à la fin.
Je bloque → je marque, je passe, je reviens.

Checklist

  • Je sais calculer le temps par point d'un devoir.
  • J'ai réparti le temps des 4 exercices.
  • Je sais quoi faire quand je bloque.
VigilanceSi tu changes l'ordre des exercices, numérote très clairement chaque réponse sur ta copie.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Dans ton dernier devoir, où as-tu perdu du temps ? Qu'aurais-tu fait autrement avec cette méthode ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétence « Chercher » (consulté le 25 octobre 2026).
  2. Ministère de l'Éducation nationale, note de service du 11 septembre 2026, « Définition des épreuves de l'examen du diplôme national du brevet à compter de la session 2027 », Bulletin officiel (consulté le 25 octobre 2026).
30
S15 · Jeudi · Pratiquer

Devoir surveillé blanc

Méthode : un devoir complet en conditions réelles

⏱ 45 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 16 h C'est la séance J−2 du plan de Noé : un devoir blanc de 45 minutes. Téléphone éteint, calculatrice autorisée seulement à l'exercice 3, chronomètre lancé. Il lit tout le sujet, repère le barème et commence par l'exercice qu'il préfère.
[2]Méthode

Tu appliques tout ce que tu as appris : lire le sujet et gérer ton temps (voir épisode 29), les 4 temps de la méthode (Boost), les routines (Pro), les raisonnements (arcs 1 à 3).

Conditions : 45 minutes, sans aide, calculatrice seulement là où c'est indiqué. Ensuite, 15 minutes d'autocorrection avec le barème, et une fiche d'erreur pour chaque erreur.

Temps conseillé : 3 min de lecture, 4 min de vérification, 38 min pour 20 points (environ 2 min par point).

[3]Pourquoi ça marche

S'entraîner dans les mêmes conditions que le vrai devoir (temps, absence d'aide, sujet mélangé) est la meilleure préparation : tu découvres à l'avance ce qui te ralentit. L'autocorrection avec un barème te montre aussi ce que le correcteur attend.

À retenirConditions réelles, autocorrection avec barème, fiche d'erreur pour chaque erreur.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« Je regarde le corrigé dès que je bloque. »
le devoir blanc perd tout son intérêt.
« Je respecte le chronomètre, même si je n'ai pas fini. »
c'est ce qui t'apprend à gérer ton temps.
« Je corrige avec le barème, point par point. »
tu vois où tu gagnes et perds des points.
« J'ai 14/20 : je n'ai pas besoin de regarder mes erreurs. »
les 6 points perdus sont ton programme de révision.
[5]Quiz

1. Combien de minutes par point dans ce devoir blanc (38 min pour 20 points) ?

38 ÷ 20 = 1,9, soit environ 2 minutes par point.

2. Que faire juste après le devoir blanc ?

la correction est la partie la plus utile.

3. Dans un « vrai ou faux » qui demande une justification, répondre seulement « faux » rapporte…

la justification (contre-exemple ou démonstration) est attendue.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 30

≈ 37 min

Devoir surveillé blanc — 45 minutes — 20 points (énoncés fictifs)

Exercice 1 — Automatismes (4 points, sans calculatrice, réponses seules)

a) (−6) × (−5) ; b) 10³ × 10⁻⁵ ; c) 30 % de 70 ; d) 2/3 de 12.

Exercice 2 — Équations (5 points, sans calculatrice)

a) Résous 5x − 3 = 2x + 9 et vérifie ta solution.

b) Inès a trois fois plus de billes que Sacha. À eux deux, ils en ont 48. Combien chacun en a-t-il ? (Mets en équation.)

Exercice 3 — Géométrie (6 points, calculatrice autorisée)

ABC est un triangle avec AB = 8 cm, AC = 6 cm et BC = 10 cm. M est sur [AB] avec AM = 2 cm, N est sur [AC] avec AN = 1,5 cm.

a) Démontre que ABC est rectangle.

b) Démontre que (MN) et (BC) sont parallèles.

c) Calcule MN.

Exercice 4 — Vrai ou faux ? Justifie (5 points)

a) « Le produit de deux nombres décimaux positifs est toujours plus grand que chacun d'eux. »

b) « La somme de deux multiples de 3 est un multiple de 3. »

c) « La somme de quatre entiers consécutifs est un multiple de 4. »

Corrigé et barème :

  • Ex. 1 (1 point chacune) : a) 30 ; b) 10⁻² (ou 0,01) ; c) 21 ; d) 8.
  • Ex. 2 a) (2 points) : 5x − 2x = 9 + 3 ; 3x = 12 ; x = 4 (1 point) ; vérification : 5 × 4 − 3 = 17 et 2 × 4 + 9 = 17 ✓ (1 point).
  • Ex. 2 b) (3 points) : soit x le nombre de billes de Sacha ; x + 3x = 48 (1 point) ; 4x = 48 ; x = 12 (1 point) ; Sacha a 12 billes, Inès 36 (1 point, avec phrase).
  • Ex. 3 a) (2 points) : plus grand côté [BC] ; d'une part BC² = 100 ; d'autre part AB² + AC² = 64 + 36 = 100 ; égalité, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.
  • Ex. 3 b) (2 points) : d'une part AM/AB = 2/8 = 0,25 ; d'autre part AN/AC = 1,5/6 = 0,25 ; M ∈ [AB], N ∈ [AC] ; d'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) // (BC).
  • Ex. 3 c) (2 points) : (MN) // (BC), donc d'après le théorème de Thalès, MN/BC = 0,25 ; MN = 0,25 × 10 = 2,5 cm.
  • Ex. 4 a) (1,5 point) : faux ; contre-exemple 0,5 × 0,4 = 0,2, plus petit que 0,5 et que 0,4.
  • Ex. 4 b) (2 points) : vrai ; deux multiples de 3 s'écrivent 3a et 3b ; 3a + 3b = 3(a + b), multiple de 3.
  • Ex. 4 c) (1,5 point) : faux ; 1 + 2 + 3 + 4 = 10, qui n'est pas un multiple de 4. (Avec une lettre : n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6.)

Checklist

  • J'ai fait le devoir en 45 minutes, sans aide.
  • Je me suis corrigé avec le barème : mon score est … / 20.
  • J'ai ouvert une fiche d'erreur pour chaque erreur.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Où as-tu gagné et perdu des points ? Qu'est-ce que ce devoir blanc t'a appris sur ta gestion du temps ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, attendus de fin d'année de 4e en mathématiques, Eduscol (BO n° 22 du 29 mai 2019) (consulté le 25 octobre 2026).
Semaine 16
31
S16 · Mardi · Comprendre

Expliquer sa méthode à un camarade

Notion : transmettre, expliquer pour mieux comprendre

⏱ 24 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 17 h Yanis bloque sur un « rectangle ou pas ? ». Noé lui prend le crayon et fait l'exercice à sa place, en trente secondes. Yanis hoche la tête… et rate le suivant. Noé comprend qu'il ne l'a pas aidé.
[2]Concept

Expliquer à quelqu'un, c'est apprendre deux fois : pour expliquer, tu dois organiser ce que tu sais, trouver les mots justes, et tu découvres ce que tu ne maîtrises pas encore.

Bien aider, ce n'est pas faire à la place. C'est aider l'autre à trouver lui-même, en posant des questions-guides, dans l'ordre de la méthode en 4 temps (Boost) :

TempsQuestion-guide
Lire« Qu'est-ce qu'on te demande exactement ? Qu'est-ce que tu as comme données ? »
Chercher« Quelle propriété du cours a cette donnée comme hypothèse ? »
Rédiger« Comment tu écrirais « on sait que, or, donc » ici ? »
Vérifier« Ton résultat est-il possible ? Comment le vérifier ? »

Les règles du bon tuteur :

  • laisser le crayon à l'autre ;
  • poser une question, puis attendre la réponse, même s'il faut du temps ;
  • valoriser ce qui est juste, transformer l'erreur en question (« Et si tu vérifiais avec le plus grand côté ? ») ;
  • ne jamais se moquer ; respecter le rythme de l'autre.
[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • 2013 — Un travail mené à l'université de Californie à Santa Barbara (L. Fiorella, sous la direction de R. E. Mayer) a comparé des étudiants qui expliquaient réellement une leçon à d'autres et des étudiants qui se préparaient seulement à le faire : une semaine plus tard, ceux qui avaient réellement expliqué réussissaient mieux [1].
  • Programme du cycle 4 — La compétence « Communiquer » demande d'expliquer à l'oral ou à l'écrit sa démarche et son raisonnement, et d'écouter et de prendre en compte le point de vue des autres [2].
[4]Mythes
« Aider, c'est donner la réponse. »
donner la réponse aide pour un exercice ; poser des questions aide pour tous les suivants.
« Expliquer, ça ne sert qu'à celui qui écoute. »
celui qui explique apprend aussi, et souvent davantage.
« Il faut être le meilleur de la classe pour expliquer. »
il suffit de bien connaître une méthode ; et expliquer t'aide à la connaître encore mieux.
[5]Quiz

1. Ton camarade bloque. Quelle aide est la meilleure ?

les questions-guides l'aident à trouver lui-même.

2. Pourquoi expliquer t'aide-t-il, toi ?

expliquer oblige à comprendre en profondeur.

3. Ton camarade se trompe de côté pour Pythagore. Que dis-tu ?

on transforme l'erreur en question.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 31

≈ 16 min

Exercice — Préparer une explication

Choisis un exercice que tu maîtrises (par exemple l'étagère, épisode 11, ou le triangle 6 ; 8 ; 11, épisode 13).

  1. Écris 5 questions-guides que tu poserais à un camarade, dans l'ordre des 4 temps.
  2. Prévois une erreur probable et la question qui l'aidera à la corriger.
  3. Écris la phrase d'encouragement que tu diras à la fin.

Exemple pour l'étagère :

  1. « Qu'est-ce qu'on te demande ? » (Si l'étagère est horizontale, donc si l'angle en R est droit.)
  2. « Quelles longueurs as-tu ? Laquelle est la plus grande ? » (ST = 58 cm.)
  3. « Quelle propriété permet de montrer qu'un triangle est rectangle avec ses longueurs ? » (La réciproque de Pythagore.)
  4. « Que calcules-tu d'une part, et d'autre part ? » (58² et 42² + 40².)
  5. « Ton résultat répond-il à la question ? » (Oui : rectangle en R, donc étagère horizontale.)
  6. Erreur probable : tester avec un autre côté que le plus grand → « Si le triangle était rectangle, quel côté serait l'hypoténuse ? »

Checklist

  • J'ai écrit 5 questions-guides dans l'ordre des 4 temps.
  • J'ai prévu une erreur et la question qui aide à la corriger.
  • Je sais pourquoi expliquer m'aide aussi.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Repense à quelqu'un qui t'a bien expliqué quelque chose. Qu'est-ce qu'il faisait qui t'aidait ?

[8]Sources
  1. L. Fiorella, The Cognitive Benefits of Learning by Teaching and Teaching Expectancy, mémoire sous la direction de R. E. Mayer, université de Californie à Santa Barbara, 2013 (notice consultée le 25 octobre 2026).
  2. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétence « Communiquer » (consulté le 25 octobre 2026).
32
S16 · Jeudi · Final

Mon dossier de problèmes résolus et expliqués

Livrable final · tutorat · carrousel · badge · certificat

⏱ 30 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 18 h Fin juin. Noé feuillette son année : la fiche méthode du Boost, le carnet de méthode du Pro, les démonstrations, les conjectures prouvées, le devoir blanc. Il choisit ses quatre plus beaux problèmes pour en faire un dossier. Demain, il les expliquera à Yanis.
[2]Outil

Mon dossier de problèmes résolus et expliqués

Clique sur « Ajouter les outils du parcours » : tes 8 fiches de raisonnement s'ajoutent. Ajoute ensuite tes 4 problèmes, puis exporte ton dossier pour l'imprimer ou le présenter.

Boîte à outils interactive · Enregistrée dans ce navigateur

Constitue ton dossier

: choisis 4 problèmes résolus dans ce livre ou en classe, si possible de types différents (une démonstration, une réciproque ou contraposée, une preuve littérale, une recherche). Pour chacun, ajoute dans la boîte à outils :

  • le titre et l'énoncé ;
  • ta solution rédigée proprement ;
  • « Comment je l'expliquerais » : 3 à 5 questions-guides (épisode 31).

Le tutorat : explique un de tes problèmes à un camarade ou à un adulte, avec tes questions-guides, sans prendre le crayon. Note ensuite ce qui a marché.

[3]Carrousel final

🎨 Carrousel récapitulatif — Master

MASTER · 1/5 · RAISONNER

Et, ou, non ;

si… alors ; le contre-exemple ; on sait que, or, donc.

2/5 · DÉMONTRER

Plusieurs pas ;

théorème, réciproque, contraposée ; tous les cas avec une lettre.

3/5 · CHERCHER ET PROUVER

Preuve littérale, démarche de recherche, IA sans tricher, automatismes.

4/5 · PRÉPARER ET TRANSMETTRE

Calcul mental, plan de révision, gestion d'un devoir, expliquer à un camarade.

5/5 · ET MAINTENANT : LA 3E

L'année du brevet.

Pour la session 2027, l'épreuve dure 2 heures : 20 minutes d'automatismes sans calculatrice, puis 1 h 40 de raisonnement et de résolution de problèmes. Le format peut évoluer d'ici ton brevet : ton professeur de 3e te le donnera. Tu as déjà tes routines d'automatismes, tes démonstrations et ta méthode de gestion du temps.

[4]Journal

✍️ Journal de bord — mot de la fin

De quoi es-tu le plus fier dans ton année de maths ? Que veux-tu améliorer en 3e ?

✦ 4e Master · Arc 4 Préparer, réussir, transmettre ✦

Bravo ! Tu prépares tes contrôles avec méthode et tu sais expliquer ta façon de raisonner.

[5]Certificat

🎓 Ton certificat

Le certificat s'affiche lorsque les 32 épisodes sont marqués comme terminés.

COLLECTION « CHALLENGES » · LA RIGUEUR ET LA MÉTHODE MATHÉMATIQUE

Certificat de réussite

Ce certificat atteste que

—

a terminé les épisodes du Master Quatrième — Raisonner comme un mathématicien
et atteint le niveau Raisonner comme un mathématicien.

Ce que ce parcours couvre : raisonner (et, ou, non ; si… alors ; contre-exemple ; démonstration) ; démontrer (plusieurs pas, réciproque, contraposée) ; chercher et prouver (preuve littérale, recherche, IA sans tricher, automatismes) ; préparer, réussir, transmettre.

Annexe · Kit de rattrapage
ARattrapage

Tu commences ici sans avoir suivi le Boost ou le Pro ? Voici, en une ligne chacune, les notions supposées acquises.

  • Lire un énoncé — Que cherche-t-on ? quelles données ? lesquelles sont inutiles ? sous-entendus ? Je reformule. (Boost, épisode 1)
  • Représenter un problème — Schéma en barres, tableau, figure à main levée codée. (Boost, épisode 2)
  • Vérifier un résultat — Vraisemblance, ordre de grandeur, signe, unités, remplacement. (Boost, épisode 3)
  • Rédiger une solution — J'annonce, je calcule, j'écris le résultat avec son unité, je conclus. (Boost, épisode 4)
  • Apprendre son cours — 4 étages ; cache et redis ; cartes question-réponse. (Pro, épisode 1)
  • Analyser ses erreurs — 5 types d'erreurs ; fiche d'erreur en 5 lignes. (Pro, épisode 3)
  • Stratégies de recherche — Partir de la fin, essayer puis ajuster, cas plus simple, motif. (Pro, épisode 6)
  • Mettre en équation — Soit x… ; traduire ; résoudre ; répondre et vérifier. (Pro, épisode 8)
  • Définition, propriété, théorème — On justifie avec le cours, en vérifiant les conditions. (Pro, épisode 11)
  • Conjecturer avec un logiciel — Le logiciel fait observer et contrôle ; il ne justifie pas. (Pro, épisode 13)
  • Lire un graphique — 5 questions ; axe tronqué ; pourcentage de quoi ? (Pro, épisode 16)
  • Penser comme un algorithme — Séquence, boucle, condition, variable ; tester les cas limites. (Pro, épisode 18)
BGlossaire
Affirmation
phrase mathématique qui est soit vraie, soit fausse.
Automatisme
savoir-faire si bien installé qu'on l'utilise sans y penser.
Conclusion
dans « si…, alors… », ce qu'on obtient quand l'hypothèse est vraie.
Conjecture
affirmation qu'on pense vraie après observation, mais pas encore démontrée.
Contraposée
de « si P, alors Q », c'est « si non Q, alors non P » ; elle a toujours la même valeur que la propriété.
Contre-exemple
cas qui respecte les conditions d'une affirmation générale mais pas sa conclusion ; il suffit à la réfuter.
Démonstration
raisonnement qui prouve une affirmation dans tous les cas, à partir des données et du cours.
Et
une affirmation « A et B » est vraie quand A et B sont toutes les deux vraies.
Hypothèse
dans « si…, alors… », ce qu'il faut avoir pour utiliser la propriété.
Narration de recherche
récit écrit d'une recherche, avec ses essais, ses impasses et ses idées.
Non
le contraire d'une affirmation.
Ou
une affirmation « A ou B » est vraie quand au moins l'une des deux est vraie (les deux, c'est permis).
Réciproque
de « si P, alors Q », c'est « si Q, alors P » ; elle peut être vraie ou fausse.