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Collection « Challenges » · La rigueur et la méthode mathématique · Quatrième · Pro

Une routine pour chaque chapitre

Tu connais la méthode en 4 temps. Il te faut maintenant une routine pour chaque grand chapitre de l'année, et une façon d'apprendre de tes erreurs. En 4 semaines, tu construis tes routines et ton carnet d'erreurs ; à la fin, tu as ton carnet de méthode, prêt pour chaque contrôle.

SEMAINE 1Apprendre et progresser SEMAINE 2Nombres et calcul SEMAINE 3Géométrie SEMAINE 4Données et algorithmes
20 épisodes · 4 semaines 1 épisode par jour d'école Papier, crayon, calculatrice · GeoGebra, tableur, Scratch en option ≈ 15 à 20 min / épisode
BOOST · 5 JOURSLa méthode en 4 temps : lire, chercher, rédiger, vérifier.
PRO · 20 JOURSUne routine pour chaque grand chapitre de 4e et un carnet d'erreurs.
MASTER · 4 MOISRaisonner comme un mathématicien : démontrer, chercher, préparer le brevet.
Le fil rouge. Noé, 13 ans, élève de 4e qui a terminé le Boost (personnage fictif), progresse avec toi chapitre après chapitre.
Chaque épisode = une situation, une notion ou une méthode, des sources, un quiz, ton kit à faire sur papier et ton journal. Le vendredi : un bilan, un arbre de décision et un badge.
Tes données restent chez toi. Progression et journal sont enregistrés uniquement dans ton navigateur. Rien n'est envoyé.
Règle d'or. Pas de résultat sans vérification, pas d'affirmation sans justification.
Ce que tu sais déjàLire un énoncé avec les 4 questions du détective (Boost, épisode 1) ; représenter un problème (Boost, épisode 2) ; vérifier un résultat avec les 5 contrôles (Boost, épisode 3) ; rédiger une solution en 4 briques (Boost, épisode 4). Tu démarres ici sans avoir suivi le Boost ? Le kit de rattrapage est en fin de livre.
Ce que tu as vu les années précédentesPour te situer, rien à réviser : additionner et soustraire des nombres relatifs ; calculer avec des fractions simples ; reconnaître une situation de proportionnalité ; utiliser la somme des angles d'un triangle ; calculer des aires et des volumes simples.

Ce livre suit le programme de mathématiques de 4e en vigueur en 2026-2027. Si ton professeur te demande de rédiger autrement, c'est sa consigne qui compte.

ARC 1 · SEMAINE 1

Apprendre et progresser

Avant les chapitres, deux outils qui servent toute l'année : apprendre une leçon de maths pour de vrai, et transformer chaque erreur en règle.

Semaine 1 · Apprendre et progresser
01
S1 · Lundi · Comprendre

Apprendre son cours de maths, ce n'est pas le relire

Notion : apprendre son cours (définitions, propriétés, méthodes, exemples types)

⏱ 18 min
[1]Scénario
Noé · Lundi, 18 h Noé a « appris » sa leçon sur les puissances : il l'a relue trois fois, tout lui semblait clair. Au contrôle, première question : « Écris 10⁻³ sous forme décimale. » Trou noir. Est-ce −1 000 ? 0,001 ? −0,001 ? Il avait reconnu la leçon en la relisant, mais il ne savait pas la redire.
[2]Concept

Une leçon de maths a 4 étages. Pour savoir un chapitre, il faut savoir chacun d'eux.

ÉtageCe que c'estDans le chapitre « puissances »
DéfinitionCe que veut dire un mot ou une notationaⁿ = a × a × … × a (n facteurs) ; 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ
PropriétéUne règle toujours vraie, qu'on a le droit d'utiliser10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ
MéthodeLes étapes pour faire un type d'exerciceÉcrire un nombre en notation scientifique
Exemple typeUn exercice résolu qui sert de modèle3 500 = 3,5 × 10³ ; 0,001 = 10⁻³

Relire n'est pas apprendre. Quand tu relis, tu reconnais : tout paraît familier, donc tu crois savoir. Au contrôle, il faut rappeler : retrouver l'information sans l'avoir sous les yeux. Pour savoir si tu sais, il n'y a qu'un moyen : te tester.

La méthode « cache et redis » :

  1. Lis un étage de la leçon (une définition, une propriété…).
  2. Cache la leçon.
  3. Redis-le ou écris-le de mémoire, avec un exemple.
  4. Compare avec la leçon. Ce qui manque, tu le recommences.
Se tester ne veut pas dire tout savoir d'un coup : c'est justement en cherchant, et parfois en se trompant, qu'on retient. Quand et à quel rythme réviser au fil des semaines, tu le verras dans le Master.
[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • 2006 — Dans une expérience devenue célèbre, deux chercheurs américains ont comparé des étudiants qui relisaient un texte et d'autres qui se testaient dessus. Une semaine plus tard, ceux qui s'étaient testés s'en souvenaient mieux, alors qu'ils l'avaient moins relu [1].
  • Eduscol — Le document officiel Pratiques efficaces observées pour l'enseignement des mathématiques au collège rappelle que les mathématiques sont cumulatives et demandent un entraînement régulier ; il cite les cartes flash et les fiches mémo parmi les outils de mémorisation [2].
[4]Mythes
« Relire trois fois, ça suffit. »
relire donne l'impression de savoir parce qu'on reconnaît la leçon. Seul le test montre ce qu'on sait redire seul.
« En maths, pas besoin d'apprendre : il suffit de comprendre. »
comprendre est indispensable, mais au contrôle il faut aussi se rappeler les définitions et les propriétés exactes.
« Apprendre par cœur, c'est ne pas comprendre. »
connaître une propriété par cœur et savoir l'appliquer à un exemple, c'est l'objectif. L'un n'empêche pas l'autre.
[5]Quiz

1. « 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ » : à quel étage de la leçon appartient cette égalité ?

elle dit ce que veut dire la notation 10⁻ⁿ. C'est une définition.

2. Quelle est la meilleure façon de vérifier que tu sais ta leçon ?

seul le rappel sans regarder montre ce que tu sais vraiment.

3. À quoi sert un exemple type ?

l'exemple type montre la propriété en action ; tu le refais pour vérifier que tu sais l'appliquer.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 1

≈ 10 min

Exercice — La leçon des puissances en 4 étages

  1. Sur une feuille, recopie le tableau des 4 étages et complète-le de mémoire.
  2. Compare avec ta leçon (ou avec le tableau ci-dessus).
  3. Teste-toi : écris 10⁻³ en écriture décimale, calcule 10² × 10⁻⁵, écris 0,000 7 en notation scientifique.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)

10⁻³ = 1/1 000 = 0,001 ; 10² × 10⁻⁵ = 10²⁺⁽⁻⁵⁾ = 10⁻³ ; 0,000 7 = 7 × 10⁻⁴.

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
APPRENDRE UNE LEÇON — cache et redis
1. Définitions : je les redis mot pour mot.
2. Propriétés : je les énonce et j'en donne un exemple.
3. Méthodes : je refais les étapes sur un exercice.
4. Exemples types : je les refais sans regarder.
Ce qui manque → je recommence demain.

Checklist

  • Je connais les 4 étages d'une leçon de maths.
  • J'ai complété le tableau des puissances de mémoire.
  • J'ai réussi les 3 questions de test (ou noté ce qui manquait).
VigilanceSurligner n'est pas apprendre. Si tu n'as rien écrit ni dit de mémoire, tu ne t'es pas testé.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Pour ton dernier contrôle de maths, as-tu relu ta leçon ou t'es-tu testé ? Qu'est-ce que tu changes pour le prochain ?

[8]Sources
  1. H. L. Roediger et J. D. Karpicke, « Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention », Psychological Science, vol. 17, n° 3, 2006, p. 249-255 (notice PubMed consultée le 25 octobre 2026).
  2. Ministère de l'Éducation nationale, Pratiques efficaces observées pour l'enseignement des mathématiques au collège, Eduscol, fiches « Réviser régulièrement » et « Favoriser la pratique autonome » (consulté le 25 octobre 2026).
02
S1 · Mardi · Pratiquer

Fabriquer sa fiche de cours active

Méthode : les cartes question / réponse

⏱ 18 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 17 h 30 Contrôle sur les nombres relatifs vendredi. Noé veut appliquer « cache et redis », mais sa leçon fait trois pages : par où commencer ? Sa cousine, en seconde, lui montre sa boîte de petites cartes : une question devant, la réponse derrière.
[2]Méthode

Hier, tu as vu qu'apprendre, c'est se tester (voir épisode 1). La fiche de cours active rend le test facile : chaque carte pose une question, et la réponse est cachée au dos.

Fabriquer une carte :

  1. Recto : une question courte, sur une seule idée.
  2. Verso : la réponse exacte + un exemple chiffré.
  3. Pour un chapitre : 5 à 8 cartes, une par définition, propriété ou méthode.

Utiliser ses cartes : lis la question, réponds à voix haute ou au brouillon, retourne la carte. Juste : la carte va sur le tas « je sais ». Faux : elle retourne dans le paquet.

Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Chaque carte t'oblige à rappeler l'information au lieu de la reconnaître : c'est le test de l'épisode 1, en petits morceaux. Les cartes flash font partie des outils de mémorisation cités par le document officiel sur les pratiques efficaces au collège [1]. Et tes cartes resserviront : elles rejoindront ton carnet de méthode à la fin du Pro.

À retenirUne carte = une question = une idée, avec un exemple au dos.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« Je recopie toute la leçon sur une carte. »
une carte trop chargée ne permet pas de se tester. Une idée par carte.
« Une question, une seule idée. »
tu sais exactement ce que tu sais et ce que tu ne sais pas.
« Au dos, j'ajoute un exemple chiffré. »
l'exemple montre que tu sais appliquer.
« J'écris seulement le titre : « Les relatifs ». »
un titre n'est pas une question ; il n'y a rien à te rappeler.
[5]Quiz

1. Quelle est la meilleure question pour une carte ?

une question précise, sur une seule idée, à laquelle on peut répondre en une phrase.

2. Que mettre au dos d'une carte ?

la réponse permet de se corriger ; l'exemple permet de vérifier qu'on sait appliquer.

3. Tu te trompes sur une carte. Que fais-tu ?

une carte ratée est exactement celle qu'il faut retravailler.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 2

≈ 10 min

Exercice — Les cartes des nombres relatifs (produit et quotient)

  1. Écris 5 cartes sur ce chapitre (ou sur ton chapitre en cours).
  2. Teste-toi avec tes cartes deux fois : aujourd'hui et demain.
Exemple de paquet corrigé (à ouvrir après avoir cherché)
RectoVerso
Signe d'un produit de deux nombres négatifs ?Positif. (−6) × (−7) = 42
Signe d'un quotient d'un négatif par un positif ?Négatif. (−24) ÷ 3 = −8
Signe d'un produit de 4 facteurs négatifs ?Positif (nombre pair de signes −). (−1) × (−2) × (−1) × (−3) = 6
Que vaut un produit dont un facteur est 0 ?0. (−5) × 0 = 0
Comment trouver le signe d'un produit de plusieurs facteurs ?Je compte les facteurs négatifs : pair → +, impair → −.

Checklist

  • J'ai écrit 5 cartes, une idée chacune.
  • Chaque carte a un exemple au dos.
  • Je me suis testé une première fois.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quel chapitre transformes-tu en cartes cette semaine ? Combien de cartes as-tu réussies du premier coup ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, Pratiques efficaces observées pour l'enseignement des mathématiques au collège, Eduscol, fiche « Réviser régulièrement » (consulté le 25 octobre 2026).
03
S1 · Mercredi · Comprendre

L'erreur, matière première

Notions : analyser ses erreurs ; le droit à l'erreur

⏱ 18 min
[1]Scénario
Noé · Mercredi, 15 h Contrôle rendu : 11/20. Noé glisse la copie dans son sac sans la regarder et soupire : « De toute façon, je suis nul en maths. » Le soir, sa mère lui demande quelles erreurs il a faites. Il ne sait pas : il n'a pas regardé.
[2]Concept

Une erreur n'est pas un verdict, c'est une information. Elle te dit précisément ce qu'il faut retravailler, à condition de savoir la lire. Pour cela, on la range dans un des 5 types d'erreurs :

TypeCe qui s'est passéExempleRemède
LectureJ'ai mal lu l'énoncéJ'ai calculé ce qui était dépensé au lieu de ce qui restaitLes 4 questions du détective (Boost, épisode 1)
ConnaissanceJe ne savais pas, ou mal, une définition ou une propriété(−3)² = −9Une carte de cours (épisode 2)
CalculJe savais, mais je me suis trompé en calculant7 × 8 = 54Les 5 contrôles (Boost, épisode 3)
MéthodeJe n'ai pas su comment démarrer ou quelle propriété utiliserPythagore dans un triangle non rectangleLes routines des semaines 2 à 4
RédactionMon résultat est juste mais mal présenté« 27 » sans unité ni phraseLes 4 briques (Boost, épisode 4)

Changer de phrase change tout. « Je suis nul » ne donne aucune piste. « J'ai fait deux erreurs de connaissance sur les puissances » te dit quoi faire ce soir.

Le droit à l'erreur. Tout le monde se trompe en maths, y compris les mathématiciens. L'erreur fait partie de l'apprentissage. Ce qui compte, c'est de ne pas refaire la même.

Et le trac du contrôle ? Si tu perds tes moyens : respire lentement trois fois, commence par l'exercice que tu sais le mieux faire, puis reviens aux autres. Si l'angoisse revient souvent, parles-en à ton professeur ou à un adulte de confiance.

[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Eduscol — Le document officiel sur les pratiques efficaces au collège recommande d'analyser les erreurs dans les copies, d'encourager les élèves à identifier, analyser et corriger leurs erreurs, et de dédramatiser l'erreur en la traitant comme un outil d'apprentissage [1].
  • Eduscol — Le même document insiste sur un climat de classe serein et sur la réussite possible de tous, pour diminuer l'appréhension envers les mathématiques [1].
[4]Mythes
« Une erreur prouve que je suis nul. »
une erreur montre une chose précise à retravailler, pas ton niveau en général.
« Mieux vaut ne pas regarder sa copie, ça déprime. »
une copie corrigée est le meilleur plan de révision qui existe. Ne pas la regarder, c'est garder ses erreurs pour le prochain contrôle.
« Les bons élèves ne se trompent pas. »
ils se trompent aussi ; ils repèrent simplement leurs erreurs et les corrigent.
[5]Quiz

1. Noé écrit 3/4 + 1/4 = 4/8. C'est une erreur de :

il ne sait pas additionner deux fractions de même dénominateur : on additionne les numérateurs, 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

2. Noé trouve 54 pour 7 × 8. C'est une erreur de :

il sait multiplier, mais il s'est trompé : 7 × 8 = 56. Un contrôle par ordre de grandeur ou par la table l'aurait détectée.

3. Quelle phrase aide le plus à progresser ?

elle dit précisément quoi retravailler.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 3

≈ 10 min

Exercice — Les 5 erreurs de Noé. Pour chaque erreur : donne son type, puis corrige.

  1. (−3)² = −9
  2. 2x + 3x = 5x²
  3. 3/4 + 1/4 = 4/8
  4. À la question « Le forfait est-il intéressant ? », Noé répond « 27 ».
  5. À la question « Combien lui reste-t-il ? », Noé calcule ce qui a été dépensé.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. Connaissance : (−3)² = (−3) × (−3) = 9.
  2. Connaissance (calcul littéral) : 2x + 3x = 5x (on additionne des x, on ne les multiplie pas).
  3. Connaissance (fractions) : 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
  4. Rédaction : il manque l'unité et une phrase qui répond à la question (Boost, épisode 4).
  5. Lecture : il n'a pas souligné la question finale (Boost, épisode 1).

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
MES ERREURS ONT 5 TYPES
Lecture · Connaissance · Calcul · Méthode · Rédaction
Je ne dis pas « je suis nul », je dis « erreur de type … ».

Checklist

  • Je connais les 5 types d'erreurs.
  • J'ai classé et corrigé les 5 erreurs de Noé.
  • J'ai relu ma dernière copie et compté mes erreurs par type.
VigilanceUne erreur de calcul répétée sur la même règle est souvent, en réalité, une erreur de connaissance. Vérifie la règle.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quel type d'erreur fais-tu le plus souvent ? Comment le sais-tu ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, Pratiques efficaces observées pour l'enseignement des mathématiques au collège, Eduscol, fiches « Vérifier la compréhension des élèves », « Favoriser la pratique autonome » et « Instaurer un climat propice aux apprentissages » (consulté le 25 octobre 2026).
04
S1 · Jeudi · Pratiquer

Ouvrir son carnet d'erreurs

Méthode : la fiche d'erreur en 5 lignes

⏱ 18 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 18 h Noé a classé ses erreurs du contrôle : trois erreurs de connaissance, une de lecture. Et maintenant ? S'il range la copie, il refera les mêmes dans un mois. Il ouvre un petit cahier et écrit en haut : « Mon carnet d'erreurs ».
[2]Méthode

Tu sais classer une erreur (voir épisode 3). Le carnet d'erreurs la transforme en règle que tu n'oublieras plus.

La fiche d'erreur en 5 lignes :

  1. Mon erreur : je recopie ce que j'ai écrit.
  2. Son type : lecture, connaissance, calcul, méthode ou rédaction.
  3. La correction : la bonne réponse, rédigée.
  4. Ma règle : ce qu'il faut retenir, avec mes mots.
  5. Je vérifie : je réussis un exercice du même genre.
Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Le document officiel sur les pratiques efficaces au collège encourage les élèves à identifier, analyser et corriger leurs erreurs [1]. La ligne « ma règle » te fait reformuler avec tes mots, et la ligne « je vérifie » prouve que l'erreur est vraiment corrigée, pas seulement recopiée.

À retenirUne erreur n'est corrigée que lorsque tu réussis un exercice du même genre.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« Je note seulement « faute de calcul ». »
sans l'erreur exacte ni la règle, la fiche ne t'apprend rien.
« J'écris la règle avec mes propres mots. »
si tu sais la dire autrement, tu l'as comprise.
« Je refais un exercice du même genre. »
c'est la preuve que l'erreur est corrigée.
« Je recopie la correction du professeur sans la lire. »
recopier n'est pas comprendre.
[5]Quiz

1. Quelle ligne de la fiche prouve que l'erreur est corrigée ?

tant que tu n'as pas réussi un exercice semblable, tu ne sais pas si l'erreur reviendra.

2. Pour l'erreur « (−3)² = −9 », quelle règle est la meilleure ?

une règle précise, avec un exemple, qu'on peut appliquer la prochaine fois.

3. Quand ouvrir une fiche d'erreur ?

on garde le carnet pour les erreurs qui comptent ; trois fiches utiles valent mieux que vingt fiches recopiées.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 4

≈ 10 min

Exercice — Mes 3 premières fiches

  1. Reprends ton dernier contrôle (ou les erreurs de Noé de l'épisode 3).
  2. Choisis 3 erreurs et écris une fiche de 5 lignes pour chacune.
  3. Pour la ligne « je vérifie », invente ou trouve un exercice du même genre et réussis-le.
Exemple corrigé, pour l'erreur (−3)² = −9 (à ouvrir après avoir cherché)
  • Mon erreur : (−3)² = −9
  • Type : connaissance
  • Correction : (−3)² = (−3) × (−3) = 9
  • Ma règle : « Le carré de n'importe quel nombre non nul est positif. Attention : −4² veut dire −(4²). »
  • Je vérifie : (−4)² = 16 ; −4² = −16 ; (−1)³ = −1 ✓

Checklist

  • J'ai écrit 3 fiches d'erreur complètes.
  • Chaque fiche a une règle écrite avec mes mots.
  • J'ai réussi un exercice de vérification pour chacune.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quelle règle personnelle viens-tu d'écrire ? Où ranges-tu ton carnet pour le retrouver avant chaque contrôle ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, Pratiques efficaces observées pour l'enseignement des mathématiques au collège, Eduscol, fiche « Favoriser la pratique autonome » (consulté le 25 octobre 2026).
05
S1 · Vendredi · Bilan

Ma première semaine de méthode

Arbre de décision · carrousel · quiz final · badge

⏱ 20 min
[1]Scénario
Noé · Vendredi, 17 h En une semaine, Noé a écrit 12 cartes et 3 fiches d'erreurs. Il ressort son contrôle à 11/20 et, pour la première fois, le relit jusqu'au bout. Il sait maintenant quoi faire de chaque point perdu.
[2]Outil

J'ai perdu des points : que faire ?

Aide à la décision interactive
[3]Carrousel

🎨 Carrousel récapitulatif — Semaine 1

PRO · SEMAINE 1 · 1/5

Apprendre et progresser

deux outils pour toute l'année.

2/5 · LES 4 ÉTAGES

Définition, propriété, méthode, exemple type :

je sais chacun d'eux.

3/5 · SE TESTER

Relire, c'est reconnaître ;

apprendre, c'est rappeler. Cache et redis ; une carte, une idée.

4/5 · LES 5 TYPES D'ERREURS

Lecture, connaissance, calcul, méthode, rédaction.

Pas « je suis nul » : « erreur de type… ».

5/5 · LA FICHE D'ERREUR

Mon erreur, type, correction, ma règle, je vérifie.

Prochaine semaine : nombres et calcul.

[4]Quiz final

1. Relire trois fois sa leçon permet surtout de…

reconnaître n'est pas rappeler ; seul le test le montre (épisode 1).

2. Une bonne carte de cours contient…

une idée par carte, un exemple au dos (épisode 2).

3. « J'ai utilisé Pythagore dans un triangle qui n'était pas rectangle. » C'est une erreur de…

le mauvais outil a été choisi pour démarrer ; c'est une erreur de méthode (épisode 3).

4. Quand une erreur est-elle vraiment corrigée ?

c'est la ligne « je vérifie » de la fiche d'erreur (épisode 4).

5. Tu as 11/20 et tu te sens découragé. Quelle est la première chose à faire ?

classer les erreurs transforme une mauvaise note en plan de travail précis.
[5]Kit

🎒 Ton kit de fin de semaine

≈ 12 min

Ma synthèse de la semaine : choisis le chapitre que tu travailleras la semaine prochaine en classe ; écris ses cartes ; relis ton carnet d'erreurs.

  • J'ai exporté mon carnet (bouton dans le menu).
  • Je sais expliquer la différence entre relire et se tester, et nommer les 5 types d'erreurs.
[6]Journal

✍️ Journal de bord — bilan

Qu'est-ce qui a changé dans ta façon de regarder une copie corrigée cette semaine ?

✦ 4e Pro · Semaine 1 ✦

Bravo ! Tu sais apprendre une leçon en te testant et transformer tes erreurs en règles.

ARC 2 · SEMAINE 2

Nombres et calcul

Que faire quand on bloque ? Quatre stratégies de recherche, puis la mise en équation : de quoi attaquer les problèmes de nombres de toute l'année.

Semaine 2 · Nombres et calcul
06
S2 · Lundi · Comprendre

Quand je bloque : 4 stratégies de recherche

Notion : stratégies de recherche

⏱ 18 min
[1]Scénario
Noé · Lundi, 18 h Devoir maison : « Noé dépense la moitié de son argent, puis 5 €. Il lui reste 7 €. Combien avait-il au départ ? » Noé a lu l'énoncé avec les 4 questions du détective, il a même fait un dessin. Mais il ne voit pas par où commencer. Il pose son crayon et attend la correction de jeudi.
[2]Concept

Bloquer est normal ; rester bloqué ne l'est pas. Quand aucune idée ne vient, il existe des stratégies pour en provoquer une. En voici 4, à essayer dans n'importe quel ordre, après avoir représenté le problème (Boost, épisode 2).

StratégieQuand l'essayerExemple
Partir de la finOn connaît le résultat final et les étapes qui y mènentIl reste 7 € : avant les 5 € dépensés, il avait 12 € ; avant la moitié, 24 €
Essayer puis ajusterOn peut tester une valeur et voir si elle est trop grande ou trop petiteDeux entiers consécutifs de produit 156 : 10 × 11 = 110, trop petit ; 12 × 13 = 156
Prendre un cas plus simpleLe problème a de grands nombres ou beaucoup d'objets10 personnes qui se serrent la main : commencer avec 2, 3, 4 personnes
Chercher un motifUne suite de calculs ou de figures se répète1 ; 1 + 3 = 4 ; 1 + 3 + 5 = 9 ; … ce sont des carrés

Partir de la fin, pas à pas : on « défait » chaque étape dans l'ordre inverse, avec l'opération inverse. Dernière étape « −5 € » → on ajoute 5 : 7 + 5 = 12. Étape « la moitié » → on multiplie par 2 : 12 × 2 = 24. Puis on vérifie dans le bon sens : 24 ÷ 2 = 12 ; 12 − 5 = 7 ✓.

Un motif observé sur quelques cas est une piste, pas une certitude : comment le prouver pour tous les cas, tu le verras dans le Master.
[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • 1945 — Parmi les questions de Pólya pour trouver un plan : connaissez-vous un problème qui s'y rattache ? pourriez-vous imaginer un problème plus accessible, plus particulier ? pourriez-vous résoudre une partie du problème ? [1][2]
  • Programme du cycle 4 — La compétence « Chercher » demande notamment de simplifier ou particulariser une situation, de tester et d'essayer plusieurs pistes de résolution, et de décomposer un problème en sous-problèmes [3].
  • Eduscol — Le document officiel sur les pratiques efficaces au collège compte parmi ses dix pratiques l'enseignement explicite des stratégies de résolution de problèmes [4].
[4]Mythes
« Soit on voit tout de suite, soit on ne verra jamais. »
les idées viennent en cherchant. Les stratégies servent justement à faire venir une idée qui ne vient pas toute seule.
« Essayer des nombres, ce n'est pas faire des maths. »
essayer puis ajuster est une vraie stratégie, à condition de noter ses essais et de vérifier le résultat.
« Il n'y a qu'une seule bonne méthode. »
un même problème se résout souvent de plusieurs façons. L'important est d'arriver à un résultat justifié et vérifié.
[5]Quiz

1. « Je pense à un nombre, je le multiplie par 4, j'ajoute 3 et je trouve 31. » Quelle stratégie est la plus directe ?

on défait les étapes : 31 − 3 = 28, puis 28 ÷ 4 = 7. Contrôle : 7 × 4 + 3 = 31.

2. « Combien de diagonales a un polygone à 20 côtés ? » Quelle stratégie essayer d'abord ?

on commence par un carré (2 diagonales), un pentagone (5), un hexagone (9), pour comprendre comment on compte.

3. Tu as trouvé un motif sur 4 exemples. Que peux-tu affirmer ?

quelques exemples ne suffisent pas à prouver un résultat général.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 6

≈ 10 min

Exercice — Trois problèmes, trois stratégies

  1. Partir de la fin : « Noé dépense la moitié de son argent, puis 5 €. Il lui reste 7 €. Combien avait-il ? »
  2. Essayer puis ajuster : « Deux entiers consécutifs ont pour produit 156. Lesquels ? »
  3. Chercher un motif : « Calcule 1 ; 1 + 3 ; 1 + 3 + 5 ; 1 + 3 + 5 + 7. Que vaut, d'après le motif, la somme des 10 premiers nombres impairs ? »
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. 7 + 5 = 12 ; 12 × 2 = 24 €. Contrôle : 24 ÷ 2 = 12 ; 12 − 5 = 7 ✓.
  2. 10 × 11 = 110 (trop petit) ; 11 × 12 = 132 (trop petit) ; 12 × 13 = 156 ✓ : 12 et 13.
  3. 1 ; 4 ; 9 ; 16 : ce sont les carrés 1², 2², 3², 4². Le motif annonce 10² = 100. Contrôle par le calcul : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100 ✓.

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
JE BLOQUE ? 4 STRATÉGIES
1. Partir de la fin (opérations inverses, dans l'ordre inverse)
2. Essayer puis ajuster (je note mes essais)
3. Prendre un cas plus simple
4. Chercher un motif (tableau de valeurs)
Puis je vérifie dans le bon sens.

Checklist

  • Je connais les 4 stratégies et je sais quand les essayer.
  • J'ai résolu les 3 problèmes et vérifié chaque résultat.
  • J'ai gardé mes essais au brouillon.
VigilanceEn partant de la fin, il faut inverser l'ordre des étapes et chaque opération. Vérifie toujours dans le sens de l'énoncé.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quelle stratégie utilisais-tu déjà sans le savoir ? Laquelle vas-tu essayer en premier la prochaine fois que tu bloques ?

[8]Sources
  1. G. Pólya, How to Solve It, Princeton University Press, 1945 ; trad. fr. Comment poser et résoudre un problème, Dunod, 1957, rééd. Jacques Gabay, 1989.
  2. D. Müller, « Poser et résoudre un problème », extrait de cours présentant la méthode de Pólya, 2018 (consulté le 25 octobre 2026).
  3. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (2015, modifié ; version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétence « Chercher » (consulté le 25 octobre 2026).
  4. Ministère de l'Éducation nationale, Pratiques efficaces observées pour l'enseignement des mathématiques au collège, Eduscol, fiche « Enseigner des stratégies de résolution de problèmes » (consulté le 25 octobre 2026).
07
S2 · Mardi · Pratiquer

Les stratégies sur les fractions, les relatifs et les puissances

Méthode : la routine « je bloque »

⏱ 18 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 17 h Exercice de puissances : « Quel est le chiffre des unités de 2²⁰ ? » La calculatrice de Noé affiche un résultat, mais le professeur a dit : « Sans calculatrice. » Noé hésite, puis se souvient d'hier : un motif, peut-être ?
[2]Méthode

Les 4 stratégies (voir épisode 6) deviennent une routine en 3 temps dès que tu bloques :

  1. Je représente (Boost, épisode 2) : barres, tableau, figure.
  2. Je choisis une stratégie et je l'écris en haut du brouillon : « Je pars de la fin », « J'essaie un cas simple »…
  3. Je vérifie le résultat dans le sens de l'énoncé (Boost, épisode 3).

Si la stratégie ne donne rien au bout de quelques minutes, j'en change. Bloquer sur une stratégie n'est pas bloquer sur le problème.

Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Le programme demande de tester et d'essayer plusieurs pistes de résolution [1]. Écrire la stratégie choisie oblige à décider, au lieu d'attendre une idée. Et la vérification finale garantit qu'un essai réussi n'est pas un hasard.

À retenirJe représente, je choisis une stratégie et je l'écris, je vérifie.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« J'abandonne au bout de 30 secondes. »
une stratégie a besoin de quelques minutes d'essais pour donner une idée.
« Je teste avec de petits nombres. »
c'est la stratégie du cas plus simple.
« Je garde mes essais ratés au brouillon. »
ils montrent dans quel sens ajuster, et le professeur peut valoriser ta recherche.
« J'efface mes essais pour avoir un brouillon propre. »
tu perds l'information de tes essais.
[5]Quiz

1. Tu cherches le chiffre des unités de 3¹⁰⁰. Quelle stratégie ?

les chiffres des unités de 3¹, 3², 3³, 3⁴… (3, 9, 7, 1) se répètent : c'est un motif.

2. Ta stratégie ne donne rien après plusieurs minutes. Que fais-tu ?

changer de stratégie, c'est continuer à chercher.

3. Pourquoi écrire la stratégie choisie en haut du brouillon ?

écrire « je pars de la fin » transforme une hésitation en plan.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 7

≈ 10 min

Exercice — Quatre problèmes de nombres (sans calculatrice)

  1. « 10 personnes se serrent toutes la main, une fois chacune. Combien de poignées de main ? »
  2. « Un nombre multiplié par −3 donne 27. Quel est ce nombre ? »
  3. « Léo mange le tiers de la moitié d'une pizza. Quelle fraction de la pizza a-t-il mangée ? »
  4. « Quel est le chiffre des unités de 2²⁰ ? »

Pour chacun : écris la stratégie choisie, résous, vérifie.

Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. Cas plus simple : 2 personnes → 1 ; 3 → 3 ; 4 → 6. Chacune serre la main des 9 autres : 10 × 9 = 90, mais chaque poignée est comptée deux fois : 90 ÷ 2 = 45. Contrôle avec 4 personnes : 4 × 3 ÷ 2 = 6 ✓.
  2. Partir de la fin : 27 ÷ (−3) = −9. Contrôle : (−9) × (−3) = 27 ✓.
  3. Représenter (une barre coupée en 2, puis une moitié coupée en 3) : 1/3 × 1/2 = 1/6.
  4. Motif : chiffres des unités de 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵… : 2, 4, 8, 6, 2, … ; le motif se répète tous les 4. 20 est un multiple de 4, comme 4 ou 8, donc le chiffre est le même que pour 2⁴ : 6. Contrôle : 2⁴ = 16 et 2⁸ = 256 finissent bien par 6.

Checklist

  • J'ai écrit la stratégie avant de résoudre chaque problème.
  • J'ai vérifié chaque résultat.
  • J'ai changé de stratégie au moins une fois quand ça bloquait (ou je sais que j'ai le droit).
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quelle stratégie a marché pour toi aujourd'hui ? Sur quel exercice de ta classe pourrais-tu l'utiliser ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétence « Chercher » (consulté le 25 octobre 2026).
08
S2 · Mercredi · Comprendre

Mettre un problème en équation

Notion : mettre en équation, modéliser

⏱ 20 min
[1]Scénario
Noé · Mercredi, 14 h « Le périmètre d'un rectangle est 30 cm. Sa longueur mesure 3 cm de plus que sa largeur. Quelles sont ses dimensions ? » Noé essaie 5 et 8 (périmètre 26), puis 7 et 10 (34)… Il finit par trouver, mais en dix minutes. Son professeur lui dit : « Et avec une équation ? »
[2]Concept

Mettre en équation, c'est traduire un problème en une égalité où un nombre inconnu est remplacé par une lettre. Quand les essais deviennent longs, l'équation fait le travail à ta place.

Les 4 étapes :

  1. Choisir l'inconnue et l'écrire en phrase : « Soit x la largeur du rectangle, en cm. »
  2. Traduire l'énoncé : la longueur vaut x + 3 ; le périmètre vaut 2 × (x + x + 3) ; donc 2(x + x + 3) = 30.
  3. Résoudre : 2(2x + 3) = 30 ; 4x + 6 = 30 ; 4x = 24 ; x = 6.
  4. Revenir à la question et vérifier : largeur 6 cm, longueur 9 cm ; contrôle 2 × (6 + 9) = 30 ✓.

Quelques traductions utiles :

PhraseExpression
un nombre augmenté de 5x + 5
le triple d'un nombre, diminué de 43x − 4
le double de (un nombre plus 13)2(x + 13)
3 cm de plus que la largeurx + 3
L'étape 4 est la plus souvent oubliée : trouver x ne suffit pas, il faut répondre à la question posée (et parfois x n'est pas la réponse).
[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Programme du cycle 4 — La compétence « Modéliser » demande de traduire en langage mathématique une situation réelle, par exemple à l'aide d'équations [1].
  • Programme du cycle 4 — Les élèves commencent en 4e à modéliser des situations par une équation et à résoudre des problèmes du premier degré à une inconnue [1].
  • Attendus de fin de 4e — Parmi les exemples de réussite figurent des équations comme 4x + 2 = 0, 5x − 7 = 3 ou 2x + 5 = −x − 4 [2].
[4]Mythes
« Une équation, c'est du calcul, pas un problème. »
l'équation est la traduction du problème. Le plus important est souvent la traduction, pas le calcul.
« L'inconnue s'appelle toujours x. »
n'importe quelle lettre convient, à condition de dire en phrase ce qu'elle représente.
« Une fois x trouvé, c'est fini. »
il faut revenir à la question, avec une phrase et une unité, et vérifier.
[5]Quiz

1. Dans le problème du rectangle, quelle phrase choisit correctement l'inconnue ?

on dit ce que représente x et dans quelle unité.

2. « Le triple d'un nombre, diminué de 4, vaut 11. » Quelle équation ?

on prend le triple (3x), puis on enlève 4. Solution : x = 5 (contrôle 15 − 4 = 11).

3. Tu as trouvé x = 6. Quelle est l'étape suivante ?

x est la largeur ; la question demande aussi la longueur, et la réponse doit être vérifiée.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 8

≈ 12 min

Exercice — Les âges

« Noé a 13 ans et son père 41 ans. Dans combien d'années le père aura-t-il exactement le double de l'âge de Noé ? »

Applique les 4 étapes.

Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. Soit x le nombre d'années cherché.
  2. Dans x années, Noé aura 13 + x ans et son père 41 + x ans. Équation : 41 + x = 2(13 + x).
  3. 41 + x = 26 + 2x ; 41 − 26 = 2x − x ; x = 15.
  4. Dans 15 ans, le père aura 56 ans et Noé 28 ans ; 56 = 2 × 28 ✓.

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
METTRE EN ÉQUATION
1. Soit x … (ce que x représente, unité)
2. Je traduis l'énoncé : … = …
3. Je résous.
4. Je réponds à la question (phrase + unité) et je vérifie.

Checklist

  • Je sais écrire la phrase « Soit x … ».
  • J'ai traduit le problème des âges en équation.
  • J'ai répondu à la question et vérifié.
Vigilance« le double de l'âge de Noé dans x années » est 2(13 + x), pas 2 × 13 + x. Les parenthèses comptent.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quelle étape de la mise en équation est la plus difficile pour toi : choisir l'inconnue, traduire, résoudre ou revenir à la question ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétence « Modéliser » et thème « Nombres et calculs » (consulté le 25 octobre 2026).
  2. Ministère de l'Éducation nationale, attendus de fin d'année de 4e en mathématiques, Eduscol (BO n° 22 du 29 mai 2019) (consulté le 25 octobre 2026).
09
S2 · Jeudi · Pratiquer

Résoudre et vérifier une équation

Méthode : la routine « équation »

⏱ 20 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 17 h 30 Noé sait maintenant mettre en équation, mais au moment de résoudre, il hésite : « 3x = 12, donc x = 12 − 3 = 9 ? » Il vérifie : 3 × 9 = 27, pas 12. Quelque chose cloche dans sa façon de résoudre.
[2]Méthode

Une fois l'équation écrite (voir épisode 8), voici la routine pour la résoudre :

  1. Regrouper : les termes en x d'un côté, les nombres de l'autre, en faisant la même opération des deux côtés.
  2. Isoler x : diviser les deux côtés par le nombre devant x.
  3. Vérifier en remplaçant x dans l'équation de départ (Boost, épisode 3) : les deux côtés doivent donner le même nombre.

Exemple rédigé : 2x + 5 = −x − 4

  • J'ajoute x des deux côtés : 3x + 5 = −4
  • J'enlève 5 des deux côtés : 3x = −9
  • Je divise par 3 : x = −3
  • Je vérifie : 2 × (−3) + 5 = −1 et −(−3) − 4 = −1 ✓

L'erreur de Noé : 3x veut dire 3 × x ; pour isoler x, on divise par 3, on ne soustrait pas 3. x = 12 ÷ 3 = 4 (contrôle : 3 × 4 = 12 ✓).

Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Une égalité reste vraie si l'on fait la même opération des deux côtés : c'est ce qui autorise chaque étape. Et le remplacement final est un contrôle sûr : si les deux côtés ne donnent pas le même nombre, la solution est fausse, quelle que soit l'erreur.

À retenirMême opération des deux côtés ; on divise par le nombre devant x ; on remplace pour vérifier.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« 3x = 12, donc x = 12 − 3. »
3x est un produit ; on divise par 3.
« Je fais la même opération des deux côtés. »
l'égalité reste vraie.
« Je remplace x dans l'équation de départ à la fin. »
c'est la vérification la plus sûre.
« Je m'arrête à 3x = −9. »
x n'est pas encore isolé.
[5]Quiz

1. 4x + 2 = 0. Quelle est la solution ?

4x = −2, donc x = −2/4 = −1/2. Contrôle : 4 × (−1/2) + 2 = −2 + 2 = 0 ✓.

2. 7x − 3 = 2x + 12. Première étape possible ?

on regroupe les x à gauche en enlevant 2x des deux côtés.

3. Pour vérifier x = 3 dans 7x − 3 = 2x + 12, on calcule…

21 − 3 = 18 et 6 + 12 = 18 : les deux côtés sont égaux, x = 3 est solution.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 9

≈ 12 min

Exercice — Trois équations et un problème

  1. 4x + 2 = 0
  2. 7x − 3 = 2x + 12
  3. 2x + 5 = −x − 4
  4. « Avec 20 €, Noé achète 3 cahiers identiques. Il lui reste 6,50 €. Quel est le prix d'un cahier ? » (Mets en équation, épisode 8, puis résous.)
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. 4x = −2 ; x = −1/2 ; contrôle 4 × (−1/2) + 2 = 0 ✓.
  2. 5x − 3 = 12 ; 5x = 15 ; x = 3 ; contrôle 18 = 18 ✓.
  3. 3x + 5 = −4 ; 3x = −9 ; x = −3 ; contrôle −1 = −1 ✓.
  4. Soit x le prix d'un cahier en €. 20 − 3x = 6,5 ; 3x = 13,5 ; x = 4,5. Un cahier coûte 4,50 €. Contrôle : 20 − 3 × 4,50 = 20 − 13,50 = 6,50 ✓.

Checklist

  • J'ai résolu les 3 équations en faisant la même opération des deux côtés.
  • J'ai vérifié chaque solution en remplaçant.
  • J'ai répondu au problème du cahier par une phrase avec l'unité.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quelle erreur fais-tu le plus souvent en résolvant une équation ? Ouvre une fiche dans ton carnet d'erreurs (épisode 4).

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, attendus de fin d'année de 4e en mathématiques, Eduscol (BO n° 22 du 29 mai 2019) (consulté le 25 octobre 2026).
10
S2 · Vendredi · Bilan

Nombres et calcul : ma routine

Arbre de décision · carrousel · quiz final · badge

⏱ 20 min
[1]Scénario
Noé · Vendredi, 17 h Il y a une semaine, Noé attendait la correction quand il bloquait. Cette semaine, il a écrit « Je pars de la fin » en haut d'un brouillon, résolu son premier problème d'âges avec une équation, et vérifié chaque solution en remplaçant. Le devoir maison est rendu complet.
[2]Outil

Je bloque sur un problème de nombres

Aide à la décision interactive
[3]Carrousel

🎨 Carrousel récapitulatif — Semaine 2

PRO · SEMAINE 2 · 1/5

Nombres et calcul

ne plus rester bloqué.

2/5 · 4 STRATÉGIES

Partir de la fin ;

essayer puis ajuster ; cas plus simple ; motif.

3/5 · LA ROUTINE « JE BLOQUE »

Je représente, j'écris ma stratégie, je vérifie.

Je change de stratégie si besoin.

4/5 · METTRE EN ÉQUATION

Soit x… ;

je traduis ; je résous ; je réponds et je vérifie.

5/5 · RÉSOUDRE

Même opération des deux côtés ;

je divise par le nombre devant x ; je remplace. Prochaine semaine : géométrie.

[4]Quiz final

1. « Je multiplie un nombre par 5, j'enlève 8 et j'obtiens 17. » Quel est ce nombre ?

en partant de la fin, 17 + 8 = 25, puis 25 ÷ 5 = 5. Contrôle : 5 × 5 − 8 = 17.

2. Quelle stratégie pour « combien de carrés de toutes tailles dans un quadrillage de 8 × 8 » ?

on compte pour 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3, et on cherche comment le nombre évolue.

3. Quelle est la première étape d'une mise en équation ?

sans inconnue clairement définie, la traduction est impossible (épisode 8).

4. 5x = −20. Que vaut x ?

on divise par 5 : x = −20 ÷ 5 = −4. Contrôle : 5 × (−4) = −20.

5. Tu trouves x = 2 dans 3x + 1 = x + 7. Comment savoir si c'est juste ?

7 ≠ 9, donc x = 2 n'est pas solution. La bonne solution est x = 3 (10 = 10).
[5]Kit

🎒 Ton kit de fin de semaine

≈ 12 min

Ma routine « nombres et calcul » : recopie l'arbre de décision sous forme de liste dans ton cahier, puis applique-le à un problème de ton manuel ou de ton dernier devoir.

  • J'ai exporté mon carnet (bouton dans le menu).
  • Je sais citer les 4 stratégies et les 4 étapes de la mise en équation.
[6]Journal

✍️ Journal de bord — bilan

Sur quel problème de cette semaine as-tu le moins bloqué grâce à une stratégie ? Laquelle ?

✦ 4e Pro · Semaine 2 ✦

Bravo ! Tu sais quoi faire quand tu bloques, et tu mets un problème en équation.

ARC 3 · SEMAINE 3

Géométrie

En géométrie, on ne croit pas la figure : on justifie avec le cours. Cette semaine, ce qu'on a le droit d'utiliser, deux routines de calcul et le bon usage du logiciel.

Semaine 3 · Géométrie
11
S3 · Lundi · Comprendre

Ce qu'on a le droit d'utiliser : définition, propriété, théorème

Notion : définition, propriété, théorème

⏱ 18 min
[1]Scénario
Noé · Lundi, 17 h Contrôle de géométrie rendu. À la question « Les droites (d) et (d') sont-elles parallèles ? Justifie », Noé a écrit : « Oui, on le voit bien sur la figure. » Zéro point sur la justification. Le professeur a souligné « on le voit » et ajouté : « Avec quelle propriété ? »
[2]Concept

En géométrie, la figure ne prouve rien. Elle aide à chercher, mais elle peut tromper : deux droites presque parallèles ont l'air parallèles, un angle de 89° a l'air droit. Pour justifier, on n'a le droit d'utiliser que ce qui est écrit dans le cours, et les données de l'énoncé.

Ce qu'on utiliseCe que c'estExemple de 4e
DéfinitionCe que veut dire un motUn parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
PropriétéUne règle démontrée (ou admise) qu'on appliqueLa somme des angles d'un triangle vaut 180°.
ThéorèmeUne propriété importante, souvent nomméeLe théorème de Pythagore ; le théorème de Thalès.

Chaque propriété a ses conditions d'utilisation. Pythagore ne s'applique que dans un triangle rectangle. Thalès demande des droites parallèles dans une configuration précise. Avant d'utiliser une propriété, on vérifie que ses conditions sont réunies dans l'énoncé (pas sur le dessin).

Ce qui n'est pas une justification :

  • « On le voit sur la figure. »
  • « Je l'ai mesuré » (sauf si l'énoncé demande une mesure sur une figure en vraie grandeur).
  • « C'est évident. »
Comment enchaîner plusieurs propriétés pour démontrer pas à pas, tu l'apprendras dans le Master.
[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Programme du cycle 4 — Au cycle 4, les élèves valident par le raisonnement et la démonstration les propriétés qu'ils conjecturent ; une propriété non démontrée en classe est présentée comme « admise » [1].
  • Programme du cycle 4 — La compétence « Raisonner » demande de démontrer en utilisant un raisonnement logique et des règles établies : propriétés, théorèmes, formules [1].
  • Repères de progression de 4e — L'apprentissage de la preuve se fait progressivement, et aucun formalisme excessif n'est exigé dans la rédaction [2].
[4]Mythes
« Si je mesure sur la figure, c'est une preuve. »
une mesure est approximative et la figure peut être fausse. On justifie avec une propriété.
« Un théorème marche dans tous les triangles. »
chaque théorème a ses conditions. Pythagore dans un triangle non rectangle donne un résultat faux.
« Citer le nom du théorème suffit. »
il faut aussi dire pourquoi ses conditions sont réunies et ce qu'on en déduit.
[5]Quiz

1. Quelle phrase est une justification valable ?

seule une propriété du cours justifie. Le logiciel aide à chercher, pas à justifier.

2. Avant d'utiliser le théorème de Pythagore dans un triangle ABC, il faut vérifier que…

la condition doit venir de l'énoncé ou d'une propriété, pas de l'apparence de la figure.

3. « Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. » C'est…

la phrase dit ce que veut dire le mot « parallélogramme ».
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 11

≈ 10 min

Exercice — Justifiable ou pas ? Pour chaque affirmation, écris la définition ou la propriété du cours qui la justifie, ou « non justifiable » et pourquoi.

  1. « ABC est rectangle en A, AB = 3 cm et AC = 4 cm, donc BC = 5 cm. »
  2. « Les droites (d) et (d') sont parallèles car elles semblent ne jamais se couper. »
  3. « Dans le triangle ABC, Â = 50° et B̂ = 60°, donc Ĉ = 70°. »
  4. « ABCD a ses côtés opposés parallèles, donc c'est un parallélogramme. »
  5. « BC = 5 cm car je l'ai mesuré sur la figure à main levée. »
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. Justifiable : théorème de Pythagore, car l'énoncé dit que ABC est rectangle en A ; BC² = 9 + 16 = 25, BC = 5 cm.
  2. Non justifiable : l'apparence ne prouve rien.
  3. Justifiable : la somme des angles d'un triangle vaut 180° ; 180 − 50 − 60 = 70.
  4. Justifiable : définition du parallélogramme.
  5. Non justifiable : une figure à main levée n'est pas en vraie grandeur (Boost, épisode 2).

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
JUSTIFIER EN GÉOMÉTRIE
Je n'utilise que : les données de l'énoncé + une définition,
une propriété ou un théorème du cours.
Avant d'utiliser une propriété, je vérifie ses conditions.
Jamais : « on le voit », « je l'ai mesuré », « c'est évident ».

Checklist

  • Je sais distinguer définition, propriété et théorème.
  • J'ai classé les 5 affirmations.
  • Je vérifie les conditions d'une propriété avant de l'utiliser.
VigilanceUn codage d'angle droit sur une figure fournie par l'énoncé est une donnée ; un angle qui « a l'air droit » n'en est pas une.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quelle propriété utilises-tu parfois sans vérifier ses conditions ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), thème « Espace et géométrie » et compétence « Raisonner » (consulté le 25 octobre 2026).
  2. Académie de Bordeaux, « Espace et géométrie en quatrième », compilation des repères de progression et des attendus de fin d'année (note de service n° 2019-072 du 28 mai 2019) (consulté le 25 octobre 2026).
12
S3 · Mardi · Pratiquer

Routine : calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle

Méthode : la routine « triangle rectangle »

⏱ 20 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 18 h Trois exercices de triangles rectangles. Pour le premier, Noé utilise Pythagore ; pour le deuxième aussi… mais il ne connaît qu'un côté et un angle. Pour le troisième, sa calculatrice affiche cos(40) ≈ −0,67. Il ne comprend pas.
[2]Méthode

Pythagore et le cosinus ne s'appliquent que dans un triangle rectangle (voir épisode 11). Voici la routine pour choisir le bon outil et ne rien oublier :

  1. Je repère le triangle rectangle (donné par l'énoncé) et son hypoténuse : le côté en face de l'angle droit.
  2. Je regarde ce que je connais :
    • deux côtés, je cherche le troisième → Pythagore ;
    • un angle aigu et un côté, je cherche un autre côté → cosinus ;
    • deux côtés (le côté adjacent et l'hypoténuse), je cherche un angle → cosinus.
  3. J'écris l'égalité avec les lettres, avant de remplacer par les nombres.
  4. Je calcule (calculatrice en mode degrés pour le cosinus) et j'arrondis seulement à la fin, comme demandé.
  5. Je vérifie : l'hypoténuse est le plus long côté ; un angle aigu est entre 0° et 90°.

Rappel : dans un triangle ABC rectangle en B, cos  = AB / AC (côté adjacent à  / hypoténuse).

Le problème de Noé : cos(40) ≈ −0,67 signifie que sa calculatrice n'était pas en degrés. En mode degrés, cos 40° ≈ 0,766.

Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Repérer d'abord l'hypoténuse évite l'erreur la plus fréquente : mettre le mauvais côté dans l'égalité. Les attendus de fin de 4e associent justement les deux outils dans un même problème : calculer une hauteur avec Pythagore, puis un angle avec le cosinus [1].

À retenirHypoténuse d'abord ; deux côtés → Pythagore ; un angle en jeu → cosinus ; mode degrés ; arrondi à la fin.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« J'utilise Pythagore dans un triangle quelconque. »
Pythagore exige un triangle rectangle.
« J'écris l'égalité avec les lettres avant de remplacer. »
on voit tout de suite si l'hypoténuse est au bon endroit.
« Je vérifie que ma calculatrice est en mode degrés. »
sinon, tous les cosinus sont faux.
« J'arrondis BC² avant de prendre la racine. »
on arrondit seulement le résultat final.
[5]Quiz

1. ABC rectangle en A. Quel est l'hypoténuse ?

l'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit, ici en face de A.

2. Tu connais un angle aigu et l'hypoténuse ; tu cherches le côté adjacent. Quel outil ?

un angle est en jeu, et cos = adjacent / hypoténuse.

3. Ta calculatrice affiche cos 60 = −0,95. Que fais-tu ?

en degrés, cos 60° = 0,5. Un cosinus d'angle aigu est toujours entre 0 et 1.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 12

≈ 12 min

Exercice — Trois triangles rectangles. Applique la routine en 5 étapes à chacun.

  1. ABC est rectangle en A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Calcule BC.
  2. ABC est rectangle en B, Â = 40° et AC = 10 cm. Calcule AB, arrondi au millimètre.
  3. ABC est rectangle en B, AB = 5 cm et AC = 13 cm. Calcule l'angle  (arrondi au degré), puis BC.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. Hypoténuse [BC]. Pythagore : BC² = AB² + AC² = 36 + 64 = 100 ; BC = 10 cm. (C'est la figure que tu avais codée au Boost, épisode 2.) Contrôle : 10 > 8 ✓.
  2. Hypoténuse [AC] ; côté adjacent à  : [AB]. cos  = AB / AC, donc AB = AC × cos 40° = 10 × cos 40° ≈ 7,66 ; AB ≈ 7,7 cm. Contrôle : 7,7 < 10 ✓.
  3. cos  = AB / AC = 5/13 ≈ 0,385 ;  ≈ 67°. Pythagore : BC² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 ; BC = 12 cm. Contrôle : 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓.

Checklist

  • J'ai repéré l'hypoténuse avant chaque calcul.
  • J'ai choisi entre Pythagore et cosinus selon ce que je connais.
  • J'ai vérifié le mode degrés et arrondi seulement à la fin.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quel contrôle de vraisemblance utilises-tu maintenant en géométrie ?

[8]Sources
  1. Académie de Bordeaux, « Espace et géométrie en quatrième », compilation des repères de progression et des attendus de fin d'année (note de service n° 2019-072 du 28 mai 2019), exemple de réussite « l'échelle » (consulté le 25 octobre 2026).
13
S3 · Mercredi · Comprendre

Conjecturer et vérifier avec un logiciel

Notion : utiliser la calculatrice et les logiciels pour conjecturer et vérifier

⏱ 18 min
[1]Scénario
Noé · Mercredi, 15 h En salle informatique, Noé trace un triangle rectangle sur GeoGebra et affiche AB² + AC² et BC². Il déplace les sommets dans tous les sens : les deux nombres restent toujours égaux. « Donc c'est démontré ! » lance-t-il. Sa professeure sourit : « C'est une très bonne conjecture. »
[2]Concept

Un logiciel ne démontre pas : il fait observer et il contrôle.

  • Observer : en essayant beaucoup de cas très vite, on remarque une régularité. Une affirmation qu'on pense vraie sans l'avoir encore justifiée s'appelle une conjecture.
  • Contrôler : vérifier un calcul, une construction, l'ordre de grandeur d'un résultat (Boost, épisode 3).
  • Justifier : seule une propriété du cours justifie (voir épisode 11).
OutilPour observerPour contrôler
GeoGebraDéplacer une figure et voir ce qui ne change pasVérifier une longueur ou un angle calculé
TableurTester un calcul sur beaucoup de nombres d'un coupVérifier une série de calculs
CalculatriceFaire des essais rapidesVérifier un résultat

Une conjecture peut être fausse. Plus on teste de cas variés (grands, petits, négatifs, cas particuliers), plus elle est solide, mais tester ne suffit jamais à prouver.

Tout se fait aussi sans écran : papier quadrillé, calculs à la main, tableau de valeurs.

Sur les outils : GeoGebra est gratuit pour un usage non commercial et son site s'utilise sans créer de compte ; ses conditions demandent que l'accès des enfants soit supervisé par un parent ou un enseignant. N'utilise un logiciel en classe ou à la maison que dans ce cadre, et jamais pendant un contrôle sans autorisation.

Passer d'une conjecture à une preuve, c'est le cœur du Master.
[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Programme du cycle 4 — La compétence « Chercher » demande d'expérimenter, sur papier ou à l'aide de logiciels, d'émettre des hypothèses et une conjecture ; les élèves valident ensuite par le raisonnement les propriétés qu'ils conjecturent [1].
  • GeoGebra, conditions mises à jour le 27 novembre 2025 — Le contenu du site est mis à disposition gratuitement, l'usage du logiciel est libre pour un usage non commercial, et les parents ou enseignants qui laissent des enfants y accéder doivent superviser cet accès [2].
[4]Mythes
« Si le logiciel le montre, c'est démontré. »
le logiciel montre beaucoup de cas, pas tous. C'est une conjecture, qu'il faut justifier.
« La calculatrice fait les maths à ma place. »
elle calcule ce que tu lui demandes ; c'est toi qui choisis le calcul et qui contrôles le résultat.
« Sans ordinateur, on ne peut pas conjecturer. »
quelques essais bien choisis sur papier suffisent souvent.
[5]Quiz

1. Noé observe sur 20 triangles que AB² + AC² = BC². Qu'a-t-il obtenu ?

il a observé de nombreux cas, mais pas justifié le résultat pour tous les triangles.

2. Quel est le meilleur usage du logiciel dans un exercice de calcul de longueur ?

on calcule avec une propriété, puis on contrôle avec le logiciel.

3. Pour rendre une conjecture plus solide, on teste…

des cas variés ont plus de chances de faire apparaître une exception.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 13

≈ 10 min

Exercice — Deux conjectures (avec ou sans écran)

  1. Programme de calcul (tableur ou à la main) : « Choisis un nombre, ajoute 3, multiplie par 2, soustrais 6, divise par 2. » Teste avec 5, −2, 0,5 et un nombre de ton choix. Quelle conjecture fais-tu ?
  2. Triangles rectangles (GeoGebra ou papier quadrillé) : trace 3 triangles rectangles différents ; pour chacun, compare AB² + AC² et BC² (BC étant l'hypoténuse).
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. 5 → 8 → 16 → 10 → 5 ; −2 → 1 → 2 → −4 → −2 ; 0,5 → 3,5 → 7 → 1 → 0,5. Conjecture : on retrouve toujours le nombre de départ. (Ce n'est pas encore une preuve.)
  2. Sur chaque triangle, les deux nombres sont égaux (aux arrondis près). C'est ce qu'affirme le théorème de Pythagore, admis ou démontré en classe.

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
LOGICIEL : OBSERVER ET CONTRÔLER, PAS JUSTIFIER
J'observe beaucoup de cas → j'écris une conjecture.
Je calcule avec une propriété → je contrôle avec l'outil.
Ma justification vient toujours du cours.

Checklist

  • Je sais ce qu'est une conjecture.
  • J'ai testé le programme de calcul avec au moins 4 nombres variés.
  • Je sais pourquoi « je l'ai vu sur le logiciel » n'est pas une justification.
VigilanceUn logiciel arrondit. Deux nombres affichés égaux peuvent différer après la virgule.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Une conjecture que tu as faite cette année, en maths ou ailleurs ? S'est-elle révélée vraie ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), compétence « Chercher » et thème « Espace et géométrie » (consulté le 25 octobre 2026).
  2. GeoGebra, Website Terms of Service and Use, mise à jour du 27 novembre 2025, geogebra.org/tos (consulté le 25 octobre 2026).
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S3 · Jeudi · Pratiquer

Routine Thalès (triangles emboîtés)

Méthode : la routine « Thalès »

⏱ 20 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 17 h Exercice de Thalès : Noé écrit AM/AB = AC/AN, trouve AN = 12,5 cm… alors que [AN] est un morceau de [AC], qui mesure 7,5 cm. Impossible. Il a mélangé l'ordre des rapports.
[2]Méthode

Comme toute propriété, le théorème de Thalès a des conditions (voir épisode 11). Voici la routine :

  1. Je vérifie les conditions dans l'énoncé : M est sur [AB], N est sur [AC], et les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
  2. J'écris les 3 rapports dans le même ordre : petit triangle (AMN) au numérateur, grand triangle (ABC) au dénominateur :
    • AM/AB = AN/AC = MN/BC
  3. Je remplace par les longueurs connues et je choisis deux rapports : un complet (deux longueurs connues) et un qui contient la longueur cherchée.
  4. Je calcule (produit en croix ou coefficient).
  5. Je vérifie : une longueur du petit triangle est plus petite que celle du grand ; contrôle possible sur GeoGebra (voir épisode 13).
A M N B C (MN) // (BC) petit triangle AMN · grand triangle ABC
AM/AB = AN/AC = MN/BC : petit triangle sur grand triangle.
[3]Pourquoi ça marche

Écrire toujours « petit sur grand », dans le même ordre, rend l'erreur de Noé impossible : chaque rapport est inférieur à 1, et une longueur du petit triangle ne peut pas dépasser celle du grand. Les attendus de fin de 4e placent le théorème de Thalès dans la configuration des triangles emboîtés [1].

À retenirConditions d'abord ; petit triangle sur grand triangle ; même ordre pour les 3 rapports.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« J'écris AM/AB = AC/AN. »
le deuxième rapport est à l'envers (grand sur petit).
« Je vérifie que (MN) et (BC) sont parallèles d'après l'énoncé. »
sans parallèles, pas de Thalès.
« J'utilise Thalès parce que les droites ont l'air parallèles. »
le parallélisme doit être donné ou justifié (épisode 11).
« Je contrôle ma longueur sur GeoGebra. »
c'est un contrôle, pas une justification (épisode 13).
[5]Quiz

1. Quelle condition est indispensable pour appliquer Thalès ici ?

le parallélisme est la condition clé de la configuration.

2. Quelle écriture est correcte ?

les trois rapports dans le même ordre, petit triangle sur grand triangle.

3. Tu trouves AN = 12,5 cm alors que AC = 7,5 cm. Que conclus-tu ?

un contrôle de vraisemblance détecte l'inversion d'un rapport.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 14

≈ 12 min

Exercice — La routine Thalès

M est sur [AB], N est sur [AC], et (MN) // (BC). AM = 3 cm, AB = 5 cm, AC = 7,5 cm et BC = 6 cm. Calcule AN et MN.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. Conditions : M ∈ [AB], N ∈ [AC], (MN) // (BC) : réunies, d'après l'énoncé.
  2. D'après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
  3. 3/5 = AN/7,5 = MN/6. Le rapport complet est 3/5 = 0,6.
  4. AN = 0,6 × 7,5 = 4,5 cm ; MN = 0,6 × 6 = 3,6 cm.
  5. Contrôle : 4,5 < 7,5 et 3,6 < 6 ✓.

Checklist

  • J'ai vérifié les 3 conditions avant d'écrire les rapports.
  • J'ai écrit les rapports « petit sur grand », dans le même ordre.
  • J'ai contrôlé que mes longueurs sont plus petites que celles du grand triangle.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quelle condition ou quelle étape de la routine oublies-tu le plus souvent ? Ouvre une fiche dans ton carnet d'erreurs si besoin (épisode 4).

[8]Sources
  1. Académie de Bordeaux, « Espace et géométrie en quatrième », compilation des repères de progression et des attendus de fin d'année (note de service n° 2019-072 du 28 mai 2019) (consulté le 25 octobre 2026).
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S3 · Vendredi · Bilan

Géométrie : quelle propriété choisir ?

Arbre de décision · carrousel · quiz final · badge

⏱ 20 min
[1]Scénario
Noé · Vendredi, 17 h Lundi, Noé justifiait par « on le voit ». Cette semaine, il a vérifié les conditions avant chaque propriété, repéré chaque hypoténuse, passé sa calculatrice en mode degrés et contrôlé ses longueurs de Thalès. Sur son dernier exercice, il a écrit « D'après le théorème de… » sans qu'on le lui demande.
[2]Outil

Je cherche une longueur ou un angle

Aide à la décision interactive
[3]Carrousel

🎨 Carrousel récapitulatif — Semaine 3

PRO · SEMAINE 3 · 1/5

Géométrie

on ne croit pas la figure, on justifie avec le cours.

2/5 · CE QU'ON A LE DROIT D'UTILISER

Données de l'énoncé, définitions, propriétés, théorèmes.

Jamais « on le voit ».

3/5 · TRIANGLE RECTANGLE

Hypoténuse d'abord ;

deux côtés → Pythagore ; un angle → cosinus ; mode degrés.

4/5 · THALÈS

Conditions ;

petit sur grand ; même ordre ; contrôle de vraisemblance.

5/5 · LE LOGICIEL

Il fait observer (conjecture) et contrôle, mais ne justifie pas.

Prochaine semaine : données et algorithmes.

[4]Quiz final

1. « Les points semblent alignés sur la figure. » Est-ce une justification ?

on justifie avec l'énoncé et le cours (épisode 11).

2. DEF est rectangle en E, DE = 9 cm, EF = 12 cm. Que vaut DF ?

DF² = 81 + 144 = 225, DF = 15 cm (épisode 12).

3. Dans un triangle rectangle, on connaît l'hypoténuse et un angle aigu ; on cherche le côté adjacent. Outil ?

un angle est en jeu ; côté adjacent = hypoténuse × cos (épisode 12).

4. Configuration de Thalès avec AM = 2, AB = 8 et BC = 12. Que vaut MN ?

AM/AB = 2/8 = 0,25 ; MN = 0,25 × 12 = 3 (épisode 14).

5. Le logiciel affiche la même valeur pour AB² + AC² et BC² sur 50 triangles. Tu as…

observer beaucoup de cas n'est pas démontrer (épisode 13).
[5]Kit

🎒 Ton kit de fin de semaine

≈ 12 min

Ma routine « géométrie » : recopie l'arbre de décision dans ton cahier, puis applique-le à deux exercices de ton manuel.

  • J'ai exporté mon carnet (bouton dans le menu).
  • Je sais dire quelle propriété utiliser selon ce que je connais, et vérifier ses conditions.
[6]Journal

✍️ Journal de bord — bilan

Quelle phrase de justification as-tu écrite cette semaine dont tu es fier ?

✦ 4e Pro · Semaine 3 ✦

Bravo ! Tu justifies avec le cours, et tu choisis la bonne propriété pour calculer.

ARC 4 · SEMAINE 4

Données et algorithmes

Lire un graphique sans se faire piéger, calculer avec des pourcentages et des probabilités, penser et tester comme un programmeur. Puis rassembler toutes tes routines dans ton carnet de méthode.

Semaine 4 · Données et algorithmes
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S4 · Lundi · Comprendre

Lire et critiquer un graphique

Notion : lire et critiquer une représentation de données

⏱ 18 min
[1]Scénario
Noé · Lundi, 18 h À l'entrée du gymnase, une affiche du club de foot montre deux barres : « Inscriptions 2025 » et « Inscriptions 2026 ». La seconde barre est deux fois plus haute. « On a doublé ! » se réjouit l'entraîneur. Noé regarde l'axe vertical : il commence à 94. Les chiffres sont 98 et 102.
[2]Concept

Un graphique se lit, il ne se regarde pas. Avant de conclure, pose-toi les 5 questions du lecteur de graphique :

QuestionCe que tu vérifies
1. De quoi parle-t-il ?Le titre, la source, la date
2. Que représentent les axes ?Ce qu'il y a en abscisse et en ordonnée
3. Quelles unités ?Personnes, euros, %, milliers…
4. L'axe commence-t-il à 0 ?Sinon, les écarts sont grossis
5. L'échelle est-elle régulière ?Des graduations également espacées pour des écarts égaux

Les pièges les plus fréquents :

  • L'axe tronqué : en commençant à 94 au lieu de 0, une hausse de 4 inscrits ressemble à un doublement.
  • L'échelle irrégulière : des graduations 0, 10, 20, 50, 100 également espacées déforment les écarts.
  • Le diagramme circulaire faux : les parts doivent totaliser 100 % (ou 360°). Si elles font 110 %, le diagramme est faux.
Axe qui commence à 949496981001029820251022026Axe qui commence à 002550751009820251022026
Mêmes données (fictives), deux impressions très différentes.
[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Attendus de fin de 4e — L'élève lit, interprète et représente des données, notamment sous forme de diagramme circulaire, et calcule et interprète la médiane d'une série de petit effectif [1].
  • Programme du cycle 4 — La compétence « Représenter » et le thème « Organisation et gestion de données » demandent de lire, d'interpréter et de produire des représentations de données [2].
  • Eduscol, 2022 — Le guide La résolution de problèmes mathématiques au collège consacre une partie aux pourcentages, présentés comme un enjeu de citoyenneté, et aux liens entre statistiques et probabilités [3].
[4]Mythes
« Un graphique ne ment pas. »
les nombres peuvent être justes et le dessin trompeur (axe tronqué, échelle irrégulière).
« Une barre deux fois plus haute veut dire deux fois plus. »
seulement si l'axe commence à 0.
« Plus il y a de couleurs et d'effets, plus c'est clair. »
les effets 3D et les couleurs inutiles rendent souvent la lecture plus difficile.
[5]Quiz

1. Les inscriptions passent de 98 à 102. De combien ont-elles augmenté, en pourcentage environ ?

la hausse est de 4 inscrits sur 98 ; 4 ÷ 98 ≈ 0,041, soit environ 4 %.

2. Un diagramme circulaire indique 40 %, 35 % et 30 %. Que peux-tu dire ?

les parts d'un diagramme circulaire totalisent 100 %.

3. Quelle question poser en premier devant un graphique ?

sans savoir ce qui est représenté, on ne peut rien conclure.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 16

≈ 10 min

Exercice — L'affiche du club

Inscriptions au club de foot (données fictives) : 98 en 2025, 102 en 2026. Sur l'affiche, l'axe vertical commence à 94.
  1. Applique les 5 questions du lecteur de graphique.
  2. Calcule l'augmentation réelle, en nombre puis en pourcentage (arrondi au dixième).
  3. Redessine le graphique sur papier avec un axe partant de 0.
  4. Écris une phrase honnête pour l'affiche.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. L'axe vertical commence à 94 : les barres mesurent 4 et 8 graduations au-dessus de 94, d'où l'impression d'un doublement ; les écarts sont grossis.
  2. Augmentation : 102 − 98 = 4 inscrits ; 4 ÷ 98 ≈ 0,0408, soit environ 4,1 %.
  3. Avec un axe partant de 0, les deux barres ont presque la même hauteur.
  4. Par exemple : « Les inscriptions augmentent légèrement : +4 inscrits en un an (environ +4 %). »

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
LIRE UN GRAPHIQUE — 5 questions
1. De quoi parle-t-il ? (titre, source, date)
2. Que représentent les axes ?
3. Quelles unités ?
4. L'axe commence-t-il à 0 ?
5. L'échelle est-elle régulière ?

Checklist

  • Je connais les 5 questions du lecteur de graphique.
  • J'ai calculé l'augmentation réelle des inscriptions.
  • J'ai redessiné le graphique avec un axe partant de 0.
VigilanceUn pourcentage d'augmentation se calcule par rapport à la valeur de départ (ici 98), pas d'arrivée.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

As-tu déjà vu un graphique trompeur (publicité, réseau social, journal) ? Quel piège utilisait-il ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, attendus de fin d'année de 4e en mathématiques, Eduscol (BO n° 22 du 29 mai 2019), « Interpréter, représenter et traiter des données » (consulté le 25 octobre 2026).
  2. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020) (consulté le 25 octobre 2026).
  3. Ministère de l'Éducation nationale, La résolution de problèmes mathématiques au collège, Eduscol, 2022 (consulté le 25 octobre 2026).
17
S4 · Mardi · Pratiquer

Pourcentages, probabilités, médiane : les pièges

Méthode : les 3 questions anti-piège

⏱ 20 min
[1]Scénario
Noé · Mardi, 17 h Le magasin de jeux vidéo annonce : « +10 % la semaine dernière, −10 % cette semaine : retour au prix normal ! » Noé, qui a gardé le ticket de caisse, fait le calcul. Ce n'est pas tout à fait le prix normal.
[2]Méthode

Tu sais lire un graphique sans te faire piéger (voir épisode 16). Avec les nombres, les pièges viennent souvent d'une question oubliée. Avant de répondre, pose-toi les 3 questions anti-piège :

  1. Pourcentage de quoi ? Quelle est la valeur de référence (le prix de départ, le prix soldé, le total…) ?
  2. Sur combien de cas ? Combien d'issues possibles, combien de données ?
  3. Le résultat est-il possible ? Une probabilité est entre 0 et 1 ; les probabilités de toutes les issues font 1 au total ; une médiane est au milieu des données rangées (Boost, épisode 3).

Trois rappels utiles :

  • Une hausse de 10 % puis une baisse de 10 % ne se compensent pas : la baisse porte sur un prix plus grand.
  • La probabilité d'un événement contraire vaut 1 moins la probabilité de l'événement.
  • La médiane partage une série rangée en deux moitiés ; contrairement à la moyenne, une valeur très grande ou très petite ne la change presque pas.
Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Les erreurs sur les pourcentages viennent presque toujours d'une valeur de référence mal choisie ; écrire « pourcentage de quoi ? » oblige à la nommer. Les attendus de fin de 4e insistent sur l'événement contraire et sur le fait qu'une probabilité est comprise entre 0 et 1, deux contrôles immédiats [1].

À retenirPourcentage de quoi ? sur combien de cas ? résultat possible ?
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« +10 % puis −10 %, on revient au prix de départ. »
100 € → 110 € → 99 €.
« Je vérifie que les probabilités de toutes les issues font 1. »
c'est un contrôle immédiat.
« J'additionne 20 % des filles et 30 % des garçons : 50 % de la classe. »
les deux pourcentages ne portent pas sur le même total.
« Je range les données avant de chercher la médiane. »
la médiane se lit sur une série rangée.
[5]Quiz

1. Un prix de 50 € augmente de 20 %, puis baisse de 20 %. Prix final ?

50 € + 20 % = 60 € ; 60 € − 20 % = 60 − 12 = 48 €.

2. La probabilité de gagner à un jeu est 0,4. Quelle est la probabilité de perdre ?

perdre est l'événement contraire de gagner : 1 − 0,4 = 0,6.

3. Temps de trajet (min) : 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 46. Quelle est la médiane ?

la série est rangée ; la valeur du milieu (3e sur 5) est 14. La moyenne, elle, vaut 20 à cause du 46.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 17

≈ 12 min

Exercice — Trois pièges à éviter

  1. Pourcentages : un jeu coûte 100 €. Son prix augmente de 10 %, puis baisse de 10 %. Prix final ? Le magasin a-t-il raison de parler de « retour au prix normal » ?
  2. Probabilités : une urne contient 3 boules rouges, 5 bleues et 2 vertes. On tire une boule au hasard. Calcule P(bleue), puis P(pas rouge) avec l'événement contraire. Vérifie que les probabilités des trois couleurs font 1.
  3. Médiane : temps de trajet de 5 élèves (en minutes) : 15 ; 12 ; 46 ; 14 ; 13. Range la série, donne sa médiane, puis sa moyenne. Laquelle décrit le mieux le trajet « habituel » ?
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. 100 × 1,10 = 110 € ; 10 % de 110 = 11 ; 110 − 11 = 99 €. Non : le prix final est inférieur de 1 € au prix de départ (baisse de 1 %).
  2. 10 boules au total. P(bleue) = 5/10 = 1/2 ; P(rouge) = 3/10, donc P(pas rouge) = 1 − 3/10 = 7/10. Contrôle : 3/10 + 5/10 + 2/10 = 10/10 = 1 ✓.
  3. Série rangée : 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 46. Médiane : 14 min (3e valeur sur 5). Moyenne : (12 + 13 + 14 + 15 + 46) ÷ 5 = 100 ÷ 5 = 20 min. La médiane décrit mieux le trajet habituel : la moyenne est tirée vers le haut par le trajet de 46 min.

Checklist

  • J'ai posé les 3 questions anti-piège avant chaque calcul.
  • J'ai utilisé l'événement contraire et vérifié que le total des probabilités vaut 1.
  • J'ai rangé la série avant de chercher la médiane.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quel piège t'a eu aujourd'hui, ou t'aurait eu sans les 3 questions ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, attendus de fin d'année de 4e en mathématiques, Eduscol (BO n° 22 du 29 mai 2019), données et probabilités (consulté le 25 octobre 2026).
18
S4 · Mercredi · Comprendre

Penser comme un algorithme

Notion : pensée algorithmique (décomposer, boucler, tester)

⏱ 18 min
[1]Scénario
Noé · Mercredi, 14 h En technologie, Noé a écrit un programme Scratch qui calcule le prix d'un forfait cinéma. Pour 3 séances, il affiche 27 € : parfait. Pour 0 séance, il affiche… 0 €, alors que le forfait coûte 15 € même si on n'y va pas. Le programme « marchait », mais pas pour tous les cas.
[2]Concept

Un algorithme est une suite d'instructions précises, dans un ordre précis, qui résout un problème. Tu en suis déjà : la méthode en 4 temps, la routine « équation », la routine Thalès.

Les 4 briques d'un algorithme :

BriqueCe qu'elle faitExemple
SéquenceDes instructions l'une après l'autreMultiplier par 3, puis enlever 4
BoucleRépéter une instructionRépéter 5 fois : doubler n
ConditionChoisir selon un testSi la somme des chiffres est un multiple de 3, alors… sinon…
VariableUne « boîte » qui garde une valeur qui peut changern, prix, score

Décomposer : un problème compliqué se découpe en petites étapes, chacune facile à écrire.

Tester : un algorithme n'est fiable que s'il donne le bon résultat pour tous les cas. On le teste :

  • à la main, avec un tableau de suivi des variables (on écrit la valeur de chaque variable après chaque étape) ;
  • avec plusieurs entrées, dont des cas limites : 0, 1, un nombre négatif, un très grand nombre.

Sur l'outil : Scratch est conçu principalement pour les 8-16 ans ; son application hors ligne permet de programmer sans créer de compte ni rejoindre la communauté en ligne. Tout ce qui suit se fait aussi sur papier.

[3]Recherche

Ce que disent les sources

  • Programme du cycle 4 — Le thème « Algorithmique et programmation » fait écrire, mettre au point et exécuter des programmes simples ; la compétence « Chercher » demande de décomposer un problème en sous-problèmes [1].
  • Scratch (MIT), page « Pour les parents » — Scratch est conçu principalement pour les 8 à 16 ans ; l'éditeur hors ligne permet de créer des projets sans rejoindre la communauté en ligne [2].
[4]Mythes
« Si mon programme marche une fois, il marche toujours. »
un seul test ne prouve rien ; c'est souvent un cas limite (0, un négatif) qui révèle l'erreur.
« La programmation, ce n'est pas des maths. »
variables, conditions et tests sont des raisonnements mathématiques.
« Il faut un ordinateur pour écrire un algorithme. »
un algorithme s'écrit et se teste très bien sur papier.
[5]Quiz

1. « Répéter 4 fois : avancer de 100 » utilise quelle brique ?

« répéter » est une boucle.

2. Pour tester un programme qui calcule un prix, quel cas est le plus utile à ajouter à « 3 séances » ?

0 est un cas limite ; c'est lui qui révèle l'erreur de Noé.

3. Qu'est-ce qu'une variable ?

la variable mémorise une valeur que le programme peut modifier.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 18

≈ 10 min

Exercice — Tester à la main

  1. Boucle : « n prend la valeur 1 ; répéter 5 fois : n prend la valeur n × 2. » Fais le tableau de suivi de n. Quelle est la valeur finale ?
  2. Condition : « Calcule la somme des chiffres du nombre. Si cette somme est un multiple de 3, dire « divisible par 3 », sinon dire « non divisible par 3 ». » Teste avec 123, 1 001 et 0.
  3. Le forfait de Noé : écris un algorithme qui calcule le prix d'un mois de cinéma avec un forfait à 15 € et des places à 4 € (entrée : le nombre de séances). Teste-le avec 0, 1 et 3 séances.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. Tableau : départ 1 ; après chaque tour : 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32. Valeur finale 32 (= 2⁵).
  2. 123 : 1 + 2 + 3 = 6, multiple de 3 → divisible (123 = 3 × 41). 1 001 : 1 + 0 + 0 + 1 = 2 → non divisible. 0 : somme 0, multiple de 3 → divisible (0 = 3 × 0) : un cas limite qui fonctionne.
  3. « Demander le nombre de séances s ; prix prend la valeur 15 + 4 × s ; afficher prix. » Tests : 0 → 15 € ; 1 → 19 € ; 3 → 27 €. Le forfait de 15 € est compté même sans séance : l'erreur de Noé est corrigée.

Modèle à copier :

Modèle à copier dans ton cahier
ALGORITHME — 4 briques
Séquence · Boucle · Condition · Variable
TESTER : tableau de suivi + plusieurs entrées
(dont 0, 1, un négatif, un grand nombre)

Checklist

  • Je connais les 4 briques d'un algorithme.
  • J'ai fait le tableau de suivi de la boucle.
  • J'ai testé un algorithme avec un cas limite.
VigilanceAvant de tester, calcule à la main le résultat attendu ; sinon tu ne sauras pas si le programme se trompe.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Dans quel exercice de maths suis-tu déjà un algorithme sans le savoir ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), thème « Algorithmique et programmation » et compétence « Chercher » (consulté le 25 octobre 2026).
  2. Scratch, MIT Media Lab, page « For Parents », scratch.mit.edu/help/parents (consulté le 25 octobre 2026).
19
S4 · Jeudi · Pratiquer

Atelier Scratch : tester son programme

Méthode : le tableau de tests · faisable sur papier

⏱ 20 min
[1]Scénario
Noé · Jeudi, 16 h Noé veut faire dessiner un carré à son lutin. Il assemble : « répéter 4 fois : avancer de 100, tourner de 60° ». Le lutin dessine une ligne brisée qui ne se referme pas. Noé change trois blocs à la fois… et ne sait plus ce qui a corrigé quoi.
[2]Méthode

Tester un programme (voir épisode 18) devient efficace avec le tableau de tests :

EntréeRésultat attendu (calculé à la main)Résultat obtenuOK ?
………✓ / ✗

La routine de l'atelier :

  1. Avant de lancer le programme, je calcule à la main le résultat attendu pour chaque entrée.
  2. Je lance et je note le résultat obtenu.
  3. Si un test échoue, je cherche le bloc fautif et je ne modifie qu'un seul bloc à la fois.
  4. Je relance tous les tests après chaque correction.

Sans ordinateur : dessine les blocs sur papier et exécute-les à la main.

Générateur
Résultat
[3]Pourquoi ça marche

Calculer le résultat attendu avant de lancer, c'est appliquer au programme les contrôles du Boost (épisode 3) : on compare à une estimation indépendante. Modifier un seul bloc à la fois permet de savoir exactement ce qui a corrigé l'erreur.

À retenirAttendu d'abord ; un bloc modifié à la fois ; tous les tests relancés.
[4]Entraînement

Bon réflexe ou piège ?

« Je teste avec un seul nombre. »
un seul test ne révèle pas les cas limites.
« Je calcule le résultat attendu avant de lancer. »
sinon, impossible de savoir si le programme se trompe.
« Je teste 0 et un nombre négatif. »
ce sont souvent eux qui révèlent les erreurs.
« Je change plusieurs blocs en même temps. »
tu ne sais plus ce qui a corrigé quoi.
[5]Quiz

1. Programme « ×3 puis −4 ». Pour l'entrée 2, quel est le résultat attendu ?

2 × 3 = 6, puis 6 − 4 = 2.

2. Pour qu'un lutin trace un carré avec « répéter 4 fois : avancer, tourner », de combien doit-il tourner ?

4 virages de 90° font un tour complet : 4 × 90° = 360°.

3. Un test échoue. Que fais-tu ?

une modification à la fois, puis on relance tous les tests.
[6]Kit

🎒 Ton kit — Épisode 19

≈ 12 min

Atelier — Deux programmes à tester (Scratch ou papier)

  1. Programme de calcul « demander un nombre ; le multiplier par 3 ; enlever 4 ; afficher le résultat ». Remplis le tableau de tests pour 0, 2 et −1, puis vérifie avec Scratch ou à la main.
  2. Chasse au bug : « répéter 4 fois : avancer de 100 ; tourner de 60° » doit tracer un carré. Trouve le bloc fautif et corrige-le. Puis adapte le programme pour tracer un triangle équilatéral.
Correction (à ouvrir après avoir cherché)
  1. 0 → −4 ; 2 → 2 ; −1 → (−1) × 3 − 4 = −7.
  2. Le bloc fautif est « tourner de 60° » : il faut 90° (4 × 90° = 360°). Pour un triangle équilatéral : « répéter 3 fois : avancer de 100 ; tourner de 120° » (3 × 120° = 360°).

Checklist

  • J'ai rempli le tableau de tests avant de lancer le programme.
  • J'ai trouvé et corrigé le bug en modifiant un seul bloc.
  • J'ai relancé tous les tests après la correction.
VigilanceDans Scratch, l'angle du bloc « tourner » est l'angle dont le lutin pivote, pas l'angle intérieur de la figure : pour un triangle équilatéral (angles de 60°), il tourne de 120°.
[7]Journal

✍️ Journal de bord

Quel test aurait trouvé le dernier bug que tu as rencontré (en maths ou en programmation) ?

[8]Sources
  1. Ministère de l'Éducation nationale, programme de mathématiques du cycle 4 (version du BO n° 31 du 30 juillet 2020), thème « Algorithmique et programmation » (consulté le 25 octobre 2026).
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S4 · Vendredi · Final

Mon carnet de méthode et ton certificat

Livrable final · carrousel · badge · certificat

⏱ 25 min
[1]Scénario
Noé · Vendredi, 18 h Fin des 4 semaines. Le contrôle commun de janvier approche. Noé étale sur son bureau ses cartes de cours, son carnet d'erreurs et ses fiches de routines. Il décide de tout rassembler au même endroit : un carnet de méthode qu'il ouvrira avant chaque contrôle.
[2]Outil

Mon carnet de méthode

Clique sur « Ajouter les outils du parcours » : tes 8 routines s'ajoutent. Modifie-les, ajoute tes règles du carnet d'erreurs, puis exporte ton carnet pour l'imprimer ou le garder.

Boîte à outils interactive · Enregistrée dans ce navigateur

Mets ton carnet à l'épreuve

(énoncé fictif, sans calculatrice) :

« Un club achète des maillots à 18 € pièce et un ballon à 25 €. Il dépense 223 € en tout. Combien de maillots a-t-il achetés ? »
Correction (à ouvrir après avoir cherché)

Soit x le nombre de maillots. 18x + 25 = 223 ; 18x = 198 ; x = 11. Le club a acheté 11 maillots. Contrôle : 18 × 11 + 25 = 198 + 25 = 223 ✓. (Routine équation ; ordre de grandeur : 20 € × 10 = 200 €, cohérent.)

[3]Carrousel final

🎨 Carrousel récapitulatif — Pro

PRO · 1/5 · APPRENDRE

Je me teste au lieu de relire ;

mes erreurs deviennent des règles.

2/5 · NOMBRES

4 stratégies quand je bloque ;

mettre en équation ; résoudre et vérifier.

3/5 · GÉOMÉTRIE

Je justifie avec le cours ;

triangle rectangle ; Thalès ; le logiciel contrôle, il ne justifie pas.

4/5 · DONNÉES ET ALGORITHMES

Graphiques, pourcentages, probabilités, médiane sans pièges ;

je teste mes programmes.

5/5 · ET MAINTENANT : LE MASTER

De février à juin :

raisonner et démontrer, chercher des problèmes ouverts, utiliser l'IA sans tricher, maîtriser les automatismes qui préparent le brevet.

[4]Journal

✍️ Journal de bord — mot de la fin

Quelle routine de ton carnet vas-tu utiliser en premier au prochain contrôle ? Laquelle dois-tu encore travailler ?

✦ 4e Pro · Semaine 4 ✦

Bravo ! Tu lis les données sans te faire piéger et tu testes tes programmes.

[5]Certificat

🎓 Ton certificat

Le certificat s'affiche lorsque les 20 épisodes sont marqués comme terminés.

COLLECTION « CHALLENGES » · LA RIGUEUR ET LA MÉTHODE MATHÉMATIQUE

Certificat de réussite

Ce certificat atteste que

—

a terminé les épisodes du Pro Quatrième — Une routine pour chaque chapitre
et atteint le niveau Une routine pour chaque chapitre.

Ce que ce parcours couvre : apprendre son cours et analyser ses erreurs ; stratégies de recherche et mise en équation ; justifier en géométrie, triangle rectangle et Thalès ; graphiques, pourcentages, probabilités et algorithmes.

Annexe · Kit de rattrapage
ARattrapage

Tu commences ici sans avoir suivi le Boost ? Voici, en une ligne chacune, les notions supposées acquises.

  • Lire un énoncé — Que cherche-t-on ? quelles données ? lesquelles sont inutiles ? qu'est-ce qui est sous-entendu ? Je reformule. (Boost, épisode 1)
  • Représenter un problème — Schéma en barres, tableau ou figure à main levée codée. (Boost, épisode 2)
  • Vérifier un résultat — Vraisemblance, ordre de grandeur, signe, unités, remplacement. (Boost, épisode 3)
  • Rédiger une solution — J'annonce, je calcule, j'écris le résultat avec son unité, je conclus. (Boost, épisode 4)
BGlossaire
Algorithme
suite d'instructions précises, dans un ordre précis, qui résout un problème.
Boucle
instruction qui fait répéter d'autres instructions.
Conjecture
affirmation qu'on pense vraie après observation, mais qui n'est pas encore justifiée.
Cosinus
dans un triangle rectangle, pour un angle aigu, quotient du côté adjacent par l'hypoténuse.
Définition
phrase qui dit ce que veut dire un mot.
Équation
égalité qui contient une inconnue.
Événement contraire
événement qui se réalise exactement quand l'événement de départ ne se réalise pas ; sa probabilité vaut 1 moins celle de l'événement.
Hypoténuse
dans un triangle rectangle, côté en face de l'angle droit ; c'est le plus long.
Inconnue
nombre cherché, représenté par une lettre.
Médiane
valeur qui partage une série rangée en deux moitiés de même effectif.
Propriété
règle démontrée ou admise qu'on a le droit d'utiliser.
Théorème
propriété importante, souvent désignée par un nom.
Variable
en programmation, « boîte » qui garde une valeur qui peut changer.